Question

高一函数题!~

已知f(x)=(a×2^x+a-2)/(2^x+1)(x∈R)若f(x)满足f(-x)=-f(x)

(1)求实数a的值

(2)判断函数的单调性

不要思路啊,请写下解题步骤

Answer 1

f(-x)=[a*2^(-x)+a-2]/[2^(-x)+1]
上下乘2^x
=[a+(a-2)*2^x]/(2^x+1)

f(-x)=-f(x)
分母相等
所以分子互为相反数
所以(a*2^x+a-2)+[a+(a-2)*2^x]=0
(a+a-2)*2^x+(a-2+a)=0
(2a-2)(2^x+1)=0
2^x+1>0
所以2a-2=0
a=1

f(x)=(2^x-1)/(2^x+1)=(2^x+1-2)/(2^x+1)
=1-2/(2^x+1)
2^x+1是增函数
所以2/(2^x+1)是减函数
所以-2/(2^x+1)是增函数
所以f(x)是增函数

Answer 2

f(-x)=-f(x) 说明是奇函数 f(0)=0 就有 a=1

f(x)=)=(2^x-1)/(2^x+1)=1-2/(2^x+1) (x∈R)

Answer 3

f(-x)=(a*2^-x+a-2)/(2^-x+1)
上下乘以2^x
=[a+(a-2)*2^x]/(2^x+1)

奇函数
则f(-x)=-f(x)
所以f(x)+f(-x)=0
(a*2^x+a-2)/(2^x+1)+[a+(a-2)*2^x]/(2^x+1)=0
[a*2^x+a-2+a+(a-2)*2^x]/(2^x+1)=0
所以a*2^x+a-2+a+(a-2)*2^x=0
2^x(2a-2)+(2a-2)=0
(2a-2)*(2^x+1)=0
因为2^x+1>0
所以2a-2=0
a=1

Answer 4

f（x）=[a（2^x+1）-2]/2^x+1=a-2/2^x+1
(1)f(-x)=a-2/2^-x+1=-f(x)=-a+2/2^x+1
由于对所有的x都成立，将x=0代入得a=1.5
（2）2^x是增函数，所以2^x+1也是增函数，所以-2/2^x+1也是增函数，所以f（x）也是增函数