Question

已知a.b.c为正实数，a+b+c=1求证（1/a-1）（1/b-1）（1/c-1）≥8

a+b+c≥3*3次根号下abc 所以abc《1/9
又因为1/a+1/b+1/c≥3*3次根号下(1/abc)
是为什么
是初中学的吗，我高一

Answer 1

这题我做过好几次了
如果是选择题， 你可以直接令abc都是3分之1

如果是证明题
这样
欲证 （1/a-1）（1/b-1）（1/c-1）≥8
则 1-a-b-c+ab+ac+bc≥9abc (展开)
因为a+b+c=1 所以 上式为
ab+ac+bc≥9abc
abc都为正实数 所以abc>0
化简为 1/a+1/b+1/c≥9
a+b+c≥3*3次根号下abc 所以abc《1/9
又因为1/a+1/b+1/c≥3*3次根号下(1/abc)
所以
1/a+1/b+1/c≥9 成立
所以不等式成立

我用逆向法证明的，方法没问题， 当然解法也不止这一种， 如果是错的的话，你就可以不用给我分了，我也不该得。

你说的那个
a+b+c≥3*3次根号下abc 所以abc《1/9
又因为1/a+1/b+1/c≥3*3次根号下(1/abc)
是为什么

涉及1个知识
a+b+c+……n》n*n次根号下（abc……n） 前提是这些数都是正数
数学书里的补充知识，你可以查阅一下，不等式里的。 这个不等式叫做：平均不等式

不是初中学的 是高中的，你们新教材应该学了的，你把这个知识记好，很有用的。

Answer 2

解：
欲证 (1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>= 8
只需 1-a-b-c+ab+ac+bc>=9abc
因a+b+c=1 则只需
ab+ac+bc>=9abc

又abc都为正实数 所以abc>0
从而只需 1/a+1/b+1/c>=9

由(a+b+c)/3 >= (abc)^(1/3)
(算术平均数大于等于几何平均数,标准不等式，其中^表幂运算)
则abc<=1/9
又(1/a+1/b+1/c)/3>=(1/abc)^(1/3)
则
1/a+1/b+1/c>=3*3=9
综上，原不等式成立