Question

一个四位数是一个完全平方数，并且前两位数字相等，后两位数字相等，求这个四位数？

请详细回答，且告诉我什么是完全平方数？万分感谢！

Answer 1

个数如果是另一个整数的完全平方，那麼我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…

四位数可以表示成
a×1000＋a×100＋b×10＋b
＝a×1100＋b×11
＝11×（a×100＋b）

因为a×100＋b必须被11整除，所以a＋b＝11，带入上式得
四位数＝11×（a×100＋（11－a））
＝11×（a×99＋11）
＝11×11×（9a+1)

只要9a＋1是完全平方数就行了。

由a＝2、3、4、5、6、7、8、9验证得，
9a＋1＝19、28、27、46、55、64、73。
所以只有a＝7一个解；b＝4。
因此四位数是7744＝11^2×8^2=88×88。

Answer 2

完全平方数就是自然数的平方，例如0，1，4，9，16，25，...

设千位与百位的数字为A,十位与个位数字为B
四位数=1000A+100A+10B+B=11*(100A+B)
且这个四位数是一个完全平方数,所以100A+B能被11整除
根据被11整除数的性质A+B=11
100A+B除11后余下的数也是完全平方数,且各个数位之和为10
易想到是64
所以A=7,B=4
四位数是7744

Answer 3

完全平方数 就是说这个数开根号之后得出的数还是整数
这个四位数是7744 它开根号后等于88

Answer 4

例6]：试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题)。

解：设此数为
aabb

此数为完全平方，则必须是11的倍数。因此11｜a + b，而a,b为0,1,2,9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。

直接验算，可知此数为7744=88。

Answer 5

设百位千位为数字为a，个十位数字为b
1000a+100a+10b+b=x*x
11(100a+b)=x*x
11[11*9a+(a+b)]=x*x
11*9a+(a+b)可被11整除，故a+b=11原式变为
11*11（9a+1）=x*x
9a+1=m*m
9a=（m+1）（m-1）=n（n-2）
a=9-2=7
这个四位数就是7744