Question

困扰我的集合论

自然数集合和有理数集合比较，应该是有理数集合大。因为他们这两个集合的元素不是一一对应的。有理数中除了自然数还有负数，所以显然数有理数集合大。
但是康托尔证明，有理数为可数集合，实数为不可数集合。他也证明了全体自然数和有理数一一对应。这是怎么回事？他具体是怎么证明的？
有理数和自然数到底是不是一一对应？他们谁大？什么是一一对应？
。。上帝说的对，但是
自然数集是有理数集的一个真子集，元素的个数肯定比有理数集得个数要少得多。基数的概念是什么？
是不是从不同的概念来说，结论不一样，不能简单地用一句话说？追加20

Answer 1

LS胡说。。。。
一一对应跟元素本身无关。
都是无穷集，要比较集合的基数。
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可数集是能与自然数集N建立一一对应的集合。又称可列集。如果将可数集的每个元素标上与它对应的那个自然数记号，那么可数集的元素就可以按自然数的顺序排成一个无穷序列a1，a2，a3，…an，…。例如，全体正偶数的集合是一个可数集，全体正奇数的集合也是可数集.
整数集与有理数集都是可数集。按照基数概念，能一一对应的两个集合的基数相同，于是有理数集、整数集、全体正偶数集等与自然数集有相同的基数。在这个意义上说，这些集合所含元素是“一样多”，但这些集合又是一个包含另一个作为真子集，所以又不同于有限集元素的“多少”概念。值得注意的是，并非所有的无穷集都是可数集，因为G.康托尔证明了实数集不是可数集，这样，实数集与自然数集有不同的基数，因而说明了无穷集所含元素数量的多少还有某种层次区别。
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引理： Ai(i=1,2,3...)均为可数集。则U（1，∞）Ai也是可数集 。（即可数集的并集仍为可数集）
（定义1：对等：A与B中存在11映射m（A-->B）乘A与B对等
定义2：可数集：与正整数集合对等的集合称为可数集）
证：设Ai=(1/i ,2/i,3/i,...）(i=1,2,3...) 则Ai是可数集。由引理知全体正有理数Q+=U(1,∞)Ai 为可数集。且存在11映射 f(j)=-j使全体正有理数与负有理数对等，因此负有理数集也为可数集。全体有理数集=全体正有理数U全体负有理数集U {0}，可数集与有限集的并仍为可数集。=>有理数集为可数集。
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无穷集的个数不是按LZ说的那样理解。所有可数集是等基数集。
关于基数：
http://baike.baidu.com/view/131521.htm。

Answer 2

有理数和自然数不是一一对应的，有理数还包括分数，小数，负数.应该是有理数集合大.一一对应就是两个集合的元素一一对应，即元素全部相同

Answer 3

不会