Question

设函数f(x)=mx^2-mx-1，对于x属于[1,3],f(x)< - m+5恒成立，求m的取值范围。

需要详细解答过程。

Answer 1

当该函数为一元一次函数，即m=0时,对于x属于[1,3],恒有f(x)=-1<-m+5=5.

当该函数为一元二次函数， 即m不等于0时，
由f(x)=mx^2-mx-1<-m+5恒成立得
m(x^2-x+1)<6恒成立
又设函数g(x)=x^2-x+1得知，该函数g(x)对于x属于[1,3]恒大于0。
所以要使f(x)<-m+5恒成立，则只要对于x属于[1,3]时使m<6/(x^2-x+1)恒成立即可。
所以只要对于x属于[1,3]时使m恒小于[6/(x^2-x+1)]的最小值即可
而对于函数g(x)，当x属于[1,3]时，该函数的图像是单调递增的，
所以当x属于[1,3]时，g(x)max=g(3)=7
所以[6/(x^2-x+1)]的最小值为6/g(x)max=6/7
即要使f(x)<-m+5恒成立，则只要对于x属于[1,3]时使m<6/7恒成立即可

所以综上所述，m的取值范围为（负无穷，6/7）