Question

若函数f(x)=x3-3x+a有三个不同的零点，则实数a的取值范围

Answer 1

设g(x)=x^3,h(x)=3x-a
f(x)=x^3-3x+a有三个不同零点
即g(x)与h(x)有三个交点
g'(x)=3x^2
h'(x)=3
当g(x)与h(x)相切时
g'(x)=h'(x),3x^2=3,得x=1,或x=-1
当x=1时,g(x)=1,h(x)=3-a=1,得a=2
当x=-1时,g(x)=-1,h(x)=-3-a=-1,得a=-2
要使得g(x)与h(x)有三个交点,则-2<a<2

Answer 2

首先零点是指使f(x)=0的点.
解:因为f(x)=x3-3x+a,所以f'(x)=3x^2-3,令f'(x)>0,得x>1或x<-1,f'(x)<0,得
-1<x<1,所以f(x)有极大值点(-1,2+a),极小值点(1,-2+a).
因此可以把f(x)的大致图象画出来.
所以要使f(x)=x3-3x+a有三个不同的零点,只需2+a>0,-2+a<0,所以a的范围是
(-2,2)

Answer 3

(－2,2)
由f(x)＝x3－3x＋a，得f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，由图象可知f(x)的极大值为f(－1)＝2＋a，f(x)的极小值为f(1)＝a－2，要使函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点，则有f(－1)＝2＋a>0，f(1)＝a－2<0，即－2<a<2，所以实数a的取值范围是(－2,2)．