Question

一个关于解析几何的问题

问题一：f(x,y)=0,g(x,y)=0分别为两个曲线的方程，那么为什么过这两条曲线公共点的方程可以表示为F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)？

问题二：假设f(x,y)=0,g(x,y)=0这两条曲线没有公共点，那么用F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)来表示会出现什么情况？可用圆来举例说明。

问题三：假设f(x,y)=0,g(x,y)=0为两个圆的方程，且二圆无交点，那么二圆公共弦所在直线方程G(x,y)=f(x,y)-g(x,y)会是怎样的一条直线？

以上问题只要说清楚就行了，最好能举例说明，能够证明当燃再好不过了。

谢谢！解释的好的还有加分哟
对不起，更正一下，问题中的F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)和G(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)全改为F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)=0和G(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)=0

对于问题一我想补充问一点：
对于f(x,y)=0,g(x,y)=0两条曲线的公共点(x1,y1)是满足F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)=0的
那么F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)=0是否就一定能表示过f(x,y)=0,g(x,y)=0两条曲线的公共点的曲线呢，假如f(x,y)=-λ,g(x,y)=1的话一样也满足F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)=0呀，那么为什么F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)=0不能表示过曲线f(x,y)+λ=0,g(x,y)-1=0公共点的曲线方程呢？

Answer 1

（1）是F(x.y)=0吧。(λ≠-1)
它表示的是一个曲线系。对任意(x1,y1)是f(x,y)=0,g(x,y)=0的公共点，F(x1,y1)=0
(2）不一定(λ≠-1).以圆为例
f(x,y):(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
g(x,y):(x-A)^2+(y-B)^2=R^2
且(A-a)^2+(B-b)^2>(R+r)^2
F(x,y):[x-(Aλ+a)/(λ+1)]^2+[y-(Bλ+b)/(λ+1)]^2={λ[(R+r)^2-(A-a)^2-(B-b)^2]+(λR-r)^2}/(λ+1)^2
λ[(R+r)^2-(A-a)^2-(B-b)^2]<0
(λR-r)^2>0
所以不一定.
例:(1)成立
f(x,y):x^2+y^2=1
g(x,y):x^2+y^2=2
λ=1
F(x,y):x^2+y^2=3是圆
(2)不成立
f(x,y):x^2+y^2=1
g(x,y):(x-3)^2+y^2=1
λ=1
F(x,y):(x-1.5)^2+y^2=-5/4
不存在
(3)根轴(根轴垂直于,连心线两圆相离时,过其上任意一点做两圆切线,切线段长度相等)
对于圆
x^2+y^2+2ax+2by+p=0和
x^2+y^2+2mx+2ny+q=0
根轴方程为:2(a-m)x+2(b-n)+(p-q)=0

补充中你说：
f(x,y)=-λ,g(x,y)=1
F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)=0
此时已默认f(x,y)中的x,y与g(x,y)中的x,y取值相同，
即此时也是过公共点。
祝你学业有成！

顺便拜托一下，求大家别再抄我答案了，我已经少拿30分了！求求大家，可怜可怜我吧！

Answer 2

1.应该是f(x,y)+λg(x,y)=0(你漏掉了=0)
证明:任取(x1,y1)为公共点,则(x1,y1)也在f(x,y)+λg(x,y)=0上.即f(x,y)+λg(x,y)=0包含了f(x,y)=0,g(x,y)=0所有的公共点.
但f(x,y)+λg(x,y)=0漏掉g(x,y)本身.
做题时发生意外,可用F(x,y)=λf(x,y)+g(x,y)(漏掉f(x,y)本身)代替.
2.什么也不能表示.
如x^2+y^2=1和x^2+y^2=2
相加后x^2+y^2=3,和原来的几乎没有关系(圆心同是因为举例的x^2+y^2=1和x^2+y^2=2圆心同).
3.也是什么都不表示.
所以做题是用到应先考虑有无公共点.这是解析几何的基础.

Answer 3

1.应该是f(x,y)+λg(x,y)=0(你漏掉了=0)
证明:任取(x1,y1)为公共点,则(x1,y1)也在f(x,y)+λg(x,y)=0上.即f(x,y)+λg(x,y)=0包含了f(x,y)=0,g(x,y)=0所有的公共点.
但f(x,y)+λg(x,y)=0漏掉g(x,y)本身.
做题时发生意外,可用F(x,y)=λf(x,y)+g(x,y)(漏掉f(x,y)本身)代替.
2.什么也不能表示.
如x^2+y^2=1和x^2+y^2=2
相加后x^2+y^2=3,和原来的几乎没有关系(圆心同是因为举例的x^2+y^2=1和x^2+y^2=2圆心同).
3.也是什么都不表示.
所以做题是用到应先考虑有无公共点.这是解析几何的基础.

Answer 4

（1）是F(x.y)=0吧。(λ≠-1)
它表示的是一个曲线系。对任意(x1,y1)是f(x,y)=0,g(x,y)=0的公共点，F(x1,y1)=0
(2）不一定(λ≠-1).以圆为例
f(x,y):(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
g(x,y):(x-A)^2+(y-B)^2=R^2
且(A-a)^2+(B-b)^2>(R+r)^2
F(x,y):[x-(Aλ+a)/(λ+1)]^2+[y-(Bλ+b)/(λ+1)]^2={λ[(R+r)^2-(A-a)^2-(B-b)^2]+(λR-r)^2}/(λ+1)^2
λ[(R+r)^2-(A-a)^2-(B-b)^2]<0
(λR-r)^2>0
所以不一定.
例:(1)成立
f(x,y):x^2+y^2=1
g(x,y):x^2+y^2=2
λ=1
F(x,y):x^2+y^2=3是圆
(2)不成立
f(x,y):x^2+y^2=1
g(x,y):(x-3)^2+y^2=1
λ=1
F(x,y):(x-1.5)^2+y^2=-5/4
不存在
(3)根轴(根轴垂直于,连心线两圆相离时,过其上任意一点做两圆切线,切线段长度相等)
对于圆
x^2+y^2+2ax+2by+p=0和
x^2+y^2+2mx+2ny+q=0
根轴方程为:2(a-m)x+2(b-n)+(p-q)=0
f(x,y)=-λ,g(x,y)=1
F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)=0
此时已默认f(x,y)中的x,y与g(x,y)中的x,y取值相同，
即此时也是过公共点。