Question

非常非常难的一条几何题,高手请进!答对了＋ 50

如图,△ABC和△DEF是正三角形,连结AF，BD，CF。N是AF的中点，M是BD的中点，O是CE的中点。证明：三角形MNO是正三角形。 图：http://hiphotos.baidu.com/080509/pic/item/b60d8f66f53eec3caa184c55.jpg
要过程 答得好的有追加！！ p.s.说实话，我自己觉得自己挺笨的。。
题目没有说 EF平行于BC！！！！！！！！！

怎么说呢。。我算是高中的吧，可是一节课还没上呢

Answer 1

根本不需要平行
不过呢需要你有向量的知识，那就可以用向量几何解答
是这样的
在平面上任意一点T原点
对所有已知点设定向量
那根据中点定理就有以下向量式子
(TA+TF)/2=TM
(TE+TC)/2=TO
(TB+TD)/2=TN
然后我们需要证明|OM|=|ON|就可以了，因为轮换的结果就有三边相等
|ON|=|TN-TO|=|（TB+TD-TC-TE）/2|=|(（TB-TC）+(TD-TE))/2|
=|CB+ED|/2
同样
|OM|=|TM-TO|=|（TF-TE）+（TA-TC）|/2
|EF+CA|/2
应用余弦定理
因为|CB|=|CA|
|EF|=|ED|
只要CB，ED的夹角=EF，CA的夹角
那就可以了
然后平移ABC 使E，C重合，这并不影响上面的夹角，那就很容易有BED=AEF
所以两者相等|OM|=|ON|
同理|MN|=|OM|
三边相等，所以MON就是正三角形
呵呵
如果用射影几何可以更快，
用解析几何也可以的，不过很繁琐，

Answer 2

连接BE，CF，取BE，CF中点K，Q
连接KM，KO，QO，QN

KMB与BDE，KEO与BCE，OCQ与CEF，FNQ与ACF都相似（△省略），且相似比大比小都是2：1，又因为△ABC和△DEF是正三角形，所以KM＝OQ，KO＝QN，
KM（ED）所在直线与KO（BC）所在直线的夹角
＝NQ（AC）所在直线与QO（EF）所在直线的夹角
（能不能理解？可以当作是ED和BC都顺时针转了60度，夹角不变）
KMO全等于OQN，
延长KM，QN交于W，角W等于EO所在直线与AC所在直线的夹角为60度
所以三角形MNO是正三角形。

我的证明是在EF平行于BC的情况下进行的

Answer 3

自己看看

Answer 4

太难了 算了

Answer 5

xcx

Answer 6

看不清