Question

一道物理竞赛题，拜托了~~

三个半径为r、质量相等的球放在一个半球形碗内,现把第四个半径也为r质量也相等的相同球放在这三个球的正上方,要使四个球能静止,大的半球形碗的半径应满足什么条件(不考虑各处摩擦)
请列出详细过程，没有过程的一律无效。我现在很急，请尽快做出答复。 谢谢~~~

Answer 1

起始时三球静止于碗中，相互外切，并均与碗内切，三球心成正三角形，边长是2r。在正上方放一球后，因为仍静止，即第4个球放上去后无需位置调整即可受力平衡。首先要注意的一点是，球与碗间的力方向一定是沿着过切点的半径的，球与丘之间的力一定是沿着球心连线所在直线的。
（1）先分析下边三个球的受力：碗给球斜向上的弹力（称为f），球球之间有水平的弹力，每个球受到水平弹力的合力（称为F）是水平指向碗壁的。再加第四个球时这两个力都可以在静止的情况下调整大小。
（2）再分析加上第四个球之后的情况：先保证第四个球受力平衡，下面三个球给他得力一定沿着球心连线，容易使之平衡。而后再保证下边的球平衡：对于下边的球，由于反作用力，第四个球沿着球心连线会它产生弹力，除此之外还有重力，f，F。
a.若f方向过第四球的球心O，容易证明平衡。
b.若f所在直线在O下方，分析下边球的受力。第四个球的反作用力N一定重力G一定，用f分别平衡掉G和N的竖直分力，会剩余f的水平分力，方向与F相反，用F平衡掉即可，因此可以平衡。
c.若f所在直线在O上方。类似b的方法可以知道有临界点，就是F恰好为0的情况。由于四个球心形成正四面体，画图后可以求得f与水平面夹角的正切是4√2
。由于三个f所在直线的交点是球心，所以半径即可由球心与三底边球的球心组成的三棱锥来求。求得半径是（2√6/3）r
当然，还要能把三个球都放进碗里，那半径就要不小于（2√3/3）r
综上所述，只要半径R满足（2√3/3）r=< R <=(2√6/3)r 即可满足条件

Answer 2

在这三个球上方再放一个球之后,分析下方其中一个球的受力情况,F4为上方的球对该球的压力.F1,F2为下方另外两个球对它可能存在的压力.
把这四个球看作四个质点,则两点之间的距离为2R,四个球形成一个正四面体.
分析上方的球的受力情况放到四面体中分析,四面体的边代表三个大小相同的F4,在底面法向量的投影之和应该要等于MG.投影之和为3*SQRT(6)/3*F4=SQRT(6)*F4=MG,这里可以算出F4来.同时F4与MG所成夹角的正弦值为SQRT(3)/3.碗半径应有两个临界条件,第一个最小半径应该满足刚好能把这下面的3个球放入碗中。此时半径为(2*SQRT(3)+3)/3.这个半径不能达到,不然受力不平衡.
第2个临界条件是下面三个球之间刚好没有弹力作用.对重力,F4,碗对球的支持力FN(设它方向和水平面成B角)进行正交分解.水平方向有SQRT(3)/3*F4=SINB*FN,竖直方向有MG=COSB*FN.算出B值后再次把四个球看作四个质点,设碗半径为T,所以有COSB*T=SQRT(3)/3*R+R.恭喜你,这样就可以算出碗半径的范围拉.

Answer 3

是3r < R <= (2√11)r+r吗？

请看图片！！！！！！！！！！