Question

求一道高中数学题

已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>0的解集为(1,2),若f(x)的最大值小于1,求a的取值范围.

Answer 1

二次函数的曲线形状是抛物线，或者开口向上，或者开口向下
因为“不等式f(x)>0的解集为(1,2)”
所以 抛物线开口向下，a < 0

设抛物线为 f(x) = a(x-b)^2 + c
因为f(x)>0解集是 (1,2),所以对称轴为 x = 3/2
b = 3/2
f(x) = a(x - 3/2)^2 + c

因为 不等式f(x)>0的解集为(1,2),所以
f(1) = 0, f(2) = 0
a/4 + c = 0
c = -a/4

f(x) = a(x - 3/2)^2 + c 的最大值为 f(3/2) = c
根据已知条件，则 c < 1
又因为 f(x) > 0 有解，所以 c > 0
因此
0 < c < 1

0 < -a/4 < 1
0 < -a < 4

-4 < a < 0

Answer 2

依据题意，f(x)=a(x-1)(x-2),显然a<0
最大值为f(3/2)=-a/4<1,解得a>-4
所以-4<a<0

Answer 3

由不等式f(x)>0的解集为(1,2)得a<0，并且
f（x）可以表示为两根式f（x）=a（x-1）（x-2）；因为如果a>0，那么f（x）》0的解集应该是分两端的（-∞，x）U（x，+∞）这种格式 不是闭区间（1.2）。
然后把f（x）=a（x-1）（x-2）化解
f（x）=a〔（x-3/2)的平方-1/4〕当x=3/2,时最大-a1/4<1
得0>a>-4