Question

求由曲线y=x^2,与直线y=2x所围成平面图形的面积

曲线是y=x^3，不好意思写错了。

Answer 1

y=x^2,与直线y=2x的交点为:(0,0)和(2,4)

以dx为微元,列积分式:
面积S=积分(0,4)(2x-x^2)dx (由于y=2x在(0,2)上是y=x^2的上方)
S=积分(2,0)(2x-x^2)dx=(x^2-x^3/3)|(2,0)

由牛顿-莱布尼滋定理解定积分得到S=4-8/3=4/3

y=x^3于y=2x的交点为(0,0),(√2,2√2),(-√2,-2√2)
画图象可以看到对称性,所以只要求解第一象限的图形面积,同样积分:
S1=积分(√2,0)(2x-x^3)dx=(x^2-x^4/4)|(√2,0)=1-1/2=0.5

S=2*S1=1(对称性)
这样就OK了

Answer 2

定积分~
曲线y=1/x与直线y=x，y=2所围成的面积就是曲线y=1/x与直线y=x，x=2所围成的面积~
面积分两部分求~左边是1/2~右边f'(x)=1/x~所以f(x)=lnx~右边面积就是f(2)-f(1)=ln2-ln1=ln2~
总面积就是ln2
1/2~

Answer 3

抛物线和直线的交点坐标为（1-√6，7-2√6），（1+√6，7+2√6），
围成面积S=∫（1-√6→1+√6）（2x+5)dx-∫（1-√6→1+√6）x^2dx
=(x^2+5x-x^3/3)（1-√6→1+√6）
=8√6。