Question

设0<x<1,a,b为常数，则a^2/x+b^2/(1-x)的最小值为

能用换元法解答吗？
三角换元

Answer 1

你执着要用换元法啊……
那设x=sin^2(q),代入后为a^2/sin^2(q)+b^2/cos^2(q),再在分子上乘以1，即sin^2(q)+cos^2(q)，分子分母同除cos^2(q)化为正切，得到a^2*(1+tan^2(q))/tan^2(q)+b^2*(1+tan^2(q)),进一步化为a^2+b^2+a^2/tan^2(q)+b^2*tan^2(q),余下同下面的解法。 当且仅当tan(q)=(a/b)^(1/2),即x=a/(a+b)时等号成立。
可以看出，其本质是一样的，形式没变……

应该说不能用换元法，因为换来换去形式还是一样的。
不妨将原式乘以1，即x+(1-x),再乘开化为a^2+b^2+a^2*（1-x)/x+b^2*x/(1-x)。此时，后两项中关于x的式子互为倒数，乘积为1，于是用不等式m+n>=2根号下（mn）,可知后两项大于等于2ab(为方便假设a、b为正），当且仅当a^2*（1-x)/x=b^2*x/(1-x)时等号成立，最小值为a^2+b^2+2ab=（a+b)^2。
为了满足等号成立条件，必须有a^2*（1-x)/x=b^2*x/(1-x)，即[（1-x)/x]^2=(b/a)^2,（1-x)/x=b/a,解得x=a/(a+b)。(简单起见设a、b为正，若需要可进一步讨论）