Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x= -2/3与x=1时都取得极值

1.求a、b、c的值
2.若对X∈[-1,2]不等式f(x)<c^2恒成立,求c的取值范围

谢谢帮忙了!

Answer 1

由题意知
f'(x)=3x＾2+2ax+b=0的两根为-2/3和1
∴1-2/3=-2a/3 a=-1/2
1*(-2/3)=b/3 b=-2
(2)由(1)知f(x)在[-1,-2/3]和[1,2]上是增函数,在[-2/3,1]上是减函数
f(-2/3)=22/7+c
f(2)=2+c
∴f(x)max=2+c
c＾2＞2+c
解得c＞2或c＜-1

Answer 2

f(x)=x^3+ax^2+bx+c
f'(x)=3X^2+2ax+b
=(x+ 2/3 )(x-1)
=x^2-(1/3)x- 2/3
=3x^2-x- 2

所以a=-1/2
b=-2

2。
f(x)=x^3-x^2-2x+c<c^2
画草图可知道
f(x)=x^3-x^2-2x+c X∈[-1,2]
最小值f(1)=-2+c
最大值
f（2）=c
f（-1）=c
所以
c<c^2

c<1

Answer 3

求导，f'x=3x^2+2ax+b=0，此时x=1与x=-2/3都行，则得到方程

3+2a+b=0, 4/3-(4/3)a+b=0

所以a=-1/2, b=-2