Question

矩阵对角化

什么是矩阵对角化，给我举个简单的例子，谢谢

Answer 1

我用自己的语言说，希望能方便你明白

矩阵对角化源自于线形变换的化简，所以最好先知道线性变换和线性变换与矩阵的对应关系（当然你看下去会发现不知道也可以）

设一线性变换a，在基m下的矩阵为A，在基n下的矩阵为B，m到n的过度矩阵为X，

那么可以证明：B=X'AX （X'是X的转置，注意X是满秩的）
那么定义：A，B是2个矩阵。如果存在可逆矩阵X，满足B=X'AX ，那么说A与B是相似的（是一种等价关系）。

如果存在可逆矩阵X使A相似与一个对角矩阵B，那么说A可对角化。

相应的，如果线性变换a在基m下的矩阵为A，并且A相似于对角矩阵B，那么另X为过度矩阵即可求出基n，并且在n下线性变换a的矩阵为对角矩阵，从而达到了化简。

Answer 2

Answer 3

通俗地说就是经过矩阵的一系列行、列变换（初等变换）后，能得到一个只有主对角线上元素不全为零，而其他位置全为零的另一个矩阵（这个矩阵称为对角阵），这个过程就叫做矩阵的对角化，并不是所有矩阵都能对角化的。

用矩阵术语来说，如果一个矩阵A能与对角矩阵B相似，则称A可对角化

比如矩阵A：
1，1
2，2

就可以经过一系列的初等变换后，化为对角阵B
3，0
0，0

这个过程就叫做矩阵的对角化

可以参考http://www.fjtu.com.cn/fjnu/courseware/0319/course/_source/web/lesson/chapter6/j2.htm