Question

请教2个小问题，微积分的

1.请举出一个外函数可积，内函数连续，但是复合函数不可积的例子。

2.一个函数f，如果有原函数，（即是另一个函数的导函数），那么这个函数f是未必可积的，因为可能无界
但如果一个函数既有原函数，又有界，那么是否可积？
这个问题我想不通

高手指教，谢谢！~
幸好不是清华数学系的那位匿名的老兄：
你第二次给出的例子，我想g并不是连续的。你观察在点x=2/3处右端的情况就知道了。而且一个函数不连续，还是有可能可积的。所以你最后一句复合函数fg在A1上不连续，因而不可积，是没有根据的。
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chenjiajiale：
能否把你的证明再详细写一下？

Answer 1

1。这样的例子不存在。
证明：
设f(u),g(x)分别是复合函数f(g(x))的外函数和内函数。由题,f(u)可积，g(x)连续。
由f(u)可积，设f(u)的不连续点的集合U，则m(U)=0，U至多可数。设u0属于U，则集合Eu0={x0|u0=g(x0)，f(g(x0))是f(g(x))的不连续点}的测度只能是0。否则，若m(Eu0)>0,则必有x轴(实数集R)上测度大于0的区间I属于Eu0，I中的每个内点x0都取值f(u0),从而f(g(x))在x0点连续,与Eu0的定义矛盾。设集合EU=Eu0的并集(u0属于U),则EU至多可数，从而m(EU)=0
设V是f(u)的所有连续点的集合。任取v0属于V,则对任意的x0，f(x0)=v0，f(g(x))在x0点连续。
从而EU是f(g(x))的所有不连续点的集合。
因为m(EU)=0,所以f(g(x))可积。

注1：实变函数Riemann可积的充要条件是不连续点的测度为0。本定理一般出现在在实变函数课程中。但徐森林的《数学分析》教材中有证明。可去图书馆参考。

绝对是Riemann可积的充要条件。你查查文献再问问题。

注2：证明的思想是，f(u)的连续点依然是f(g(x))的连续点；故f(g(x))的不连续点只能在f(u)的不连续点上。讨论f(u)的不连续点的定义域，可知，f(g(x))的不连续点的测度为0
注3：应该也能用分划的方法证明，只是麻烦

2.如果一个函数既有原函数，又有界，那么在闭区间上必然可积

证明：设f(x)在[a,b]上有界，存在[a,b]上的函数F'(x)=f(x)。
任取[a,b]的分划S:
a=x0<x1<...<xn=b
取标志点组e1,e2,...,en, x(i-1)<=ei<=xi。
则Riemann和为
E=sigma(f(ei)*(xi-x(i-1))) i=1,..,n
当|S|=max[xi-x(i-1)],i=1,...,n足够小时
F(xi)-F(x(i-1))=F'(ei)(xi-x(i-1))+o(|S|)
=f(ei)*(xi-x(i-1))+o(|S|)
即可用F(xi)-F(x(i-1))近似代替f(ei)*(xi-x(i-1))，误差任意小。故
E=sigma(F(xi)-F(x(i-1))+o(|S|)
=|F(b)-F(a)|+o(|S|)
从而limE=(F(b)-F(a) |S|->0
由于F(x)可导，故连续，有界，所以F(b)-F(a)为有限值。故f(x)在[a,b]上可积，积分值为F(b)-F(a)。

至于你说的有界条件，用在了标志点组的选取上；同时也是Riemann可积的必要条件

Answer 2

对于第一个问题，我敢肯定不存在这样的反例，即一个外函数可积，内函数连续，得到的复合函数一定Riemann可积。证明只要利用Lebesgue给的Riemann可积充要条件：f(x)Riemann可积的充要条件是在积分区间上测度为零。
对于第二个问题：确实存在这样的反例，一个函数既有原函数，又有界，但是Riemann不可积。原因该函数只存在第二类间断点且测度为一个正测度集。反例构造须利用实变函数中Cantor集构造，很复杂。只需了解有这么回事就行了。

Answer 3

嗯，第一题真的有反例吗？应该是个可以证明的结论吧，只要利用闭区间上连续函数一定一致连续，应该不难证明

另外什么叫做原函数？原函数都求出来了，怎么会不可积呢？仔细理解概念啊！！！

（我不是清华的。。。）

Answer 4

在（0，+&）上，f(u)=1/u可积,u=sin（x）连续但f(x)=1/sin(x)好像是不可积的，
如同你说的，可积必定要说明区间范围，我这里选取区间（0,+&）是符合条件的

第二个问题好像有点傻，原函数就是该函数积分得来的，怎么还会有未必可积的问题呢，
比如f=x,是无界函数，但他还是可积的，原函数为F=x^2/2,函数是否可积与是否有节无关，极限才与是否有界有关

以上是我的理解，不知对不对
我不是清华的。

Answer 5

【1】最简便的方法，用matlab解。
>> y=dsolve('(2*t-y)+(y-t)*Dy=0')
y =
[ t+(-t^2+exp(C1)^2)^(1/2)]
[ t-(-t^2+exp(C1)^2)^(1/2)]
即：
y=
[ x+(-x^2+exp(C1)^2)^(1/2)]
[ x-(-x^2+exp(C1)^2)^(1/2)]
【2】用scrodinger 的方法
2xdx+ydy-ydx-xdy=0
d(2x^2+y^2-2xy)=0
2x^2+y^2-2xy-c＝0
判别式＝4x^2-4*(2x^2-c)=-4x^2-4c
y1=[2x+(-4x^2-4c)^(1/2)]/2=x+(-x^2-c)^(1/2)
y2=[2x-(-4x^2-4c)^(1/2)]/2=x-(-x^2-c)^(1/2)
在（0，+&）上，f(u)=1/u可积,u=sin（x）连续但f(x)=1/sin(x)好像是不可积的，
如同你说的，可积必定要说明区间范围，我这里选取区间（0,+&）是符合条件的

第二个问题好像有点傻，原函数就是该函数积分得来的，怎么还会有未必可积的问题呢，
比如f=x,是无界函数，但他还是可积的，原函数为F=x^2/2,函数是否可积与是否有节无关，极限才与是否有界有关

以上是我的理解，不知对不对