Question

一道初二的数学题目，急！

已知：在Rt三角形ABC中，AB等于AC，角BAC等于90度，过A点任作一直线AP，再过B、C分别做BM、CN垂直于AP。垂足为M、N，画出图形，猜想BM、CN、MN之间的关系，并证明你的猜想。

很急的，希望各位大虾帮忙啊！
明天就要交了！回答好的话，我会加悬赏的！
我需要证明全等的过程啊。
不能只写△BMA全等于△ANC 。
拜托了各位。

Answer 1

若CN在RT三角形ABC内部,则BM+MN=CN（属情况甲）
若BM在RT三角形ABC内部,则CN+MN=BM（属情况乙）
解说：甲
因为CN垂直于MN,所以角ANC=90度，因为BM垂直于MN,所以角AMB=90度，
因为角NAC与角MAB互余，角MBA与角BAM互余，所以，角MBA=角CNA,AB=AC.因此RT三角形MBA全等于RT三角形ANC,BM=AN,BM+NM=AN+MN=AM,CN=AM,所以CN=BM+MN.
乙
因为CN垂直于MN,所以角ANC=90度，因为BM垂直于MN,所以角AMB=90度，
因为角NAC与角MAB互余，角MBA与角BAM互余，所以，角MBA=角CNA,AB=AC.因此RT三角形MBA全等于RT三角形ANC,AM=CN,CN+NM=AM+MN=AN,AN=BM,所以CN+MN=BM.

Answer 2

猜想：CN=BM+(-)MN
(只要证明你说的这两个△全等就ok了)
其一
向上偏
证明：设∠BAM=∠1，∠MAC=∠2
∠MBA=∠3，∠ACN=∠4
∠1+∠3=∠1+∠2=∠2+∠4=90度
所以∠2=∠3，∠1=∠4
再加上AB=AC
所以两△全等（两角一夹边）
所以BM=AN，NC=AM
所以NC-BM=MN

Answer 3

当作的AP偏向AC一侧时MN=CN-BM
当作的AP偏向AC一侧时MN=BM-CN

证明如下：当作的AP偏向AC一侧时
<ACN=<BAM
<AMP=<ANC=<BAC=Rt<
则AM^2=AB^2-BM^2
三角形AMB全等于三角形ANC
则CN=AM
BM=AN
AC^2=CN^2+AN^2
即AB^2=AM^2+BM^2
又MN=AM-AN=(AB^2-BM^2)^(1/2)-BM
则MN=CN-BM

当作的AP偏向AC一侧时证明同理。

Answer 4

MN=BM+CN
△BMA全等于△ANC (两角边)
AM=CN,AN=BM
MN=AM+AN=CN+BM

Answer 5

CN=BM+(-)MN
因角BAC,BMA,CNA=90°；角BAM+角CAN=90°角CAN+角ACN=90°
得角BAM=角ACN；同理角MBA=角NAC
又因为BA=AC由角边角两三角形全等
三角形ANC与三角形BMA全等，则CN=AM;AN=BM
可得CN=AM=AN-MN=BM-MN
依据图中角PAB大小，若角PAB大于45度，则答案为CN=BM-MN
若小于45°，则为CN=BM+MN

不好意思，图加不上这你应该会画吧

Answer 6

<ACN=<BAM
<AMP=<ANC=<BAC=Rt<
则AM^2=AB^2-BM^2
三角形AMB全等于三角形ANC
则CN=AM
BM=AN
AC^2=CN^2+AN^2
即AB^2=AM^2+BM^2
又MN=AM-AN=(AB^2-BM^2)^(1/2)-BM
则MN=CN-BM