Question

三个高二数学题

1.小芳将每月省下的零花钱5元在月末存入银行，月息为0.2%（月息复利计算),每满一年就讲一年的本金和利息转存，年息为6%（年息按复利计算），问三年后取出本利共多少元？

2.某人年初向银行贷款2万元，贷款的年利率10%，按复利计算要求10次等额归还，每年一次，并以后借款后此年初开始归还，试求每年应归还多少元？

3.已知Sn为数列An的前n项和，且tSn=（1/4）*（An+t)^2,t是一个正常数
1)求证数列An是一个等差数列
2)设数列An公差为f（t），作数列Bn，使B1=1，Bn=f（Bn-1）（n=2，3，4.。。。。）求数列Bn的通项公式。 说明，Bn-1是第n-1项

大家可以踊跃回答，分析或者具体步骤，答出1道或者两道也可以
第一个题目是每个月都存5元钱的，大家注意了

Answer 1

1）解：
先分析每一年存款的本利和，小芳同学一年要存款12次，每次存款5元，各次存款及其利息情况如下：
第12次存款5元，这时要到期改存，因此这次的存款没有月息；
第11次存款5元，过1个月即到期，因此所存款与利息之和为：5＋5×0.2%=5×(1＋0.2%)；
第10次存款5元，过2个月到期，因此存款与利息和为5×(1＋0.2%)2；
……
第1次存款5元，11个月后到期，存款与利息之和为5×(1＋0.2%)11．
于是每一年中各月的存款与利息的本利和为A，
A=5＋5×(1＋0.2%)＋5×(1＋0.2%)2＋…＋5×(1＋0.2%)11
=5(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211)
第一年的A元，改存后两年后到期的本利和为A(1＋6%)2；
第二年的A元，改存后一年后到期的本利和为A(1＋6%)；
第三年的A元，由于全部取出，这一年的存款没有利息．
三年后，取出的本利和为：
A(1＋6%)2＋A(1＋6%)＋A．
解：设每存一年的本利和为A，
则 A=5×(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211)
三年后取出的本利为y，
则y=A＋A(1＋6%)＋A(1＋6%)2
=A(1＋1.06＋1.062)
=5×(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211)(1＋1.06＋1.062)

≈193(元)
答：三年后取出本利共193元．

2）解：
解：我们先把这个问题作一般化的处理，设某人向银行贷款 M0元，年利率为a 按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），并从借款后次年年初开始每次 a元等额归还，每N 次全部还清. 那么，一年后欠款数
M1=(a+1)M0-a
两年后欠款数
M2=(1+a)M1-a
…………
…………

N年后欠款数

MN=（1+a)M(N-1)-a
=(1+a)^NM0-a[(a+a)^N-1+……+（a+1）+1]
因为MN=0,
所以

（1+a)^NM0= a[(1+a)^N-1]/a

得到a=（1+a)^NM0/(1+a)^N-1

这就是每期归还额与贷款数额、贷款利率、归还年限之间的关系式.
对于上述购房问题，将 a=0.1,M0=20000,N=10 代入得
a=3254.9 （元）.
故每年应还3254.9 元.

3）解

1) 把t先除到右边得到一个有关Sn的等式 再依此写出前(n-1)项和S(n-1)
两项相减得到An与A(n-1)的关系式 再经过移项、合并
可以得到An-A(n-1)=2t 由于t为常数 所以 An为等差数列

2）由第一问可以得到f(t)=2t 所以Bn=2B(n-1)下面就好做了

Answer 2

第一题是一个累积的问题
首先看第一年 第一个月末得到本息共5（1+0.2%）第二个月5(1+0.2%)^2 依此类推得第一年底时的本息共5(1+0.2%)^12 再将这些钱作为本存2年得5(1+0.2%)^12*(1+6%)^2
第二年按月存的钱跟第一年一样是5(1+0.2%)^12 只是整年取出后要再按年存1年得5(1+0.2%)^12*(1+6%)
第三年只有5(1+0.2%)^12
所以总数是5(1+0.2%)^12*(1+6%)^2+5(1+0.2%)^12*(1+6%)+5(1+0.2%)^12

第二题应该是个差不多类型的题

第三题
1) 把t先除到右边得到一个有关Sn的等式 再依此写出前(n-1)项和S(n-1)
两项相减得到An与A(n-1)的关系式 再经过移项、合并
可以得到An-A(n-1)=2t 由于t为常数 所以 An为等差数列

2）由第一问可以得到f(t)=2t 所以Bn=2B(n-1)下面就好做了

呵呵 我都只说了一下步骤~~ 具体的还是你自己来算吧~~