Question

已知x>0,y>0,x+y=1求证（1+1/x)(1+1/y)>=9

Answer 1

要证（1+1/x)(1+1/y)>=9
只需证（x+1）(y+1)>=9xy
即证xy+x+y+1-9xy>=0
2>=8xy
xy<=(x+y)^2/4
即证 8xy<=2(x+y)^2
因为x+y=1
所以 8xy<=2

所以 （1+1/x)(1+1/y)>=9
得证

Answer 2

法一：分析法，往证（1+1/x)(1+1/y)>=9
只要证(x+1)(y+1)>=9xy
即证xy+x+y+1>=9xy
因为x+y=1所以只要证8xy<=2
只要证xy<=1/4即可，这可由均值不等式xy<=(1/4)(x+y)^2=1/4得到，
所以不等式成立。

法二：（1+1/x)(1+1/y)=(2+y/x)(2+x/y)=5+2(x/y+y/x)>=5+2*2=9

Answer 3

很简单
证明：已知x>0,y>0,x+y=1
则（1+1/x)(1+1/y)=1+1/x+1/y+1/xy=1+(x+y)/xy+1/xy=1+2/xy
=1+2/(-x平方+x)
对于二次函数f(x)=-x平方+x x>0 其对称轴x=1/2>0 在定义区间(0,+∞)
故有最大值 max[f(x)]=f(1/2)=1/4
从而 (1+1/x)(1+1/y)有最小值9
即有 (1+1/x)(1+1/y)≥9 成立

Answer 4

证明:（1+1/x)(1+1/y)=[1+(x+y)/x][1+(x+y)/y]
=(2+y/x)(2+x/y)=4+2x/y+2y/x+1
∵x>0,y>0
∴4+2x/y+2y/x+1≥5+2√(2x/y)*(2y/x)=5+4=9
当且仅当2x/y=2y/x,即X=y=1/2时取"="