Question

高一数学题！！！急~~

在测量某物理量的过程中因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得a1，
a2,...an共n个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从
a1,a2,...an中推测出的a=?过程详细些！~
没什么分，帮帮忙！！！谢谢！！

Answer 1

无非就是要求平方和最小，我用如下的做法
解：f(a)=(a-a1)平方+(a-a2)平方+(a-a3)平方+...+(a-an)平方
=n*a平方-2(a1+a2+...+an)a+(a1平方+a2平方+...+an平方)
这显然是一个以a为自变量的二次函数且开口向上
显然当 a=(a1+a2+a3+...+an)/n 时 f(a)有最小值
所以取 a=(a1+a2+a3+...+an)/n 就是最佳近似值a
换句话说，这也是我们经常说的多次测量求平均值。也就是最佳近似值

Answer 2

如果设
y=(a-a1)²+(a-a2)²+...+(a-an)²最小。
进一步化简：
y=n(a²) - 2(a1+a2+...+an)a + a1²+a2²+...+an²
对于a来说，y是a的一元二次函数
n>0,y开口向上，当且仅当a等于抛物线对称轴的时候y取得最小值
a=-B/2A = 2(a1+a2+...+an)/[2(n)]
=(a1+...+an)/n
也就是说，“最佳近似值”是观测量的算术平均。

Answer 3

a与各数据的差的平方和
=(a-a1)^2+(a-a2)^2+...+(a-an)^2
=4a^2-2*(a1+a2+...+an)*a+a1^2+a2^2+...+an^2
要使它最小，即上面这个二次函数取最小值。显然，当
a=(a1+a2+...+an)/4时取最小值。
因此，a=(a1+a2+...+an)/4

Answer 4

答案为a1，a2,...an n个数据的平均值。
证明：设平均值为b,则nb=∑ai,则∑(b-ai)=0
∑(a-ai)^2=∑(a-b+b-ai)^2=∑(a-b)^2+∑(b-ai)^2+2∑(a-b)*(b-ai)
=n(a-b)^2+∑(b-ai)^2+2(a-b)*∑(b-ai)
=n(a-b)^2+∑(b-ai)^2
因为∑(b-ai)^2为常数，所以a=b时上式最小。即a1，a2,...an n个数据的平均值

Answer 5

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