Question

反三角函数微分公式的证明

证明 d(arctan x)/dx = 1/(1+x^2) 要完整的步骤
能用到cos^2 y + sin^2 y = 1 和 1 + tan^2 y =sec^2 y 这两个公式

Answer 1

证明：
arctan在R上严格单调，可导，tan x 在(-π/2,π/2)上单调，可导。有：
arctan'x=1/(tan'y)=1/sec^2(y)=cos^2(y)

由于cos'y=-1/根号(1-y^2)

所以arctan'x=1/(1+x^2)

还有没有不明白的？我补充

Answer 2

y = ArcTan[x]
则Tan[y] = x
d[x]/d[y]
= d[Tan[y]]/d[y]
= d[Sin[y]/Cos[y]]/d[y]
= (Cos[y] Cos[y] - Sin[y] (-Sin[y]))/Cos[y]^2
= 1/Cos[y]^2
= Sec[y]^2
= 1 + Tan[y]^2
= 1 + x^2
所以
d[y]/d[x] = 1/(1 + x^2)

Answer 3

(arctanx)'=?

arctanx=y=f(x)
tany=x
0＝tany-x＝tan[f(x)]-x
利用复合函数求导
0=(tanf(x))'-x'=(secy)^2*f(x)'-1
(secy)^2*f(x)'=1
f(x)'=1/(secy)^2=1/[(tany)^2+1]=1/(1+x^2)