Question

关于排列组合的数学问题

把7个球全部放入4个盒子中，（不要求每个盒子至少有1个球），共有多少种方法
好像是用挡板法或插空法之类的，希望给出详细的分析，答案是120
推广：把n个球放入m个盒子中，有C（n+m-1,m-1）种方法，如果能给出这个的证明就更好了

Answer 1

7个球放入4个盒中，每盒至少有一个球时，用“挡扳法”得知，一共有：C6（3）=20种。
现在不要求至少有一个，则可以是0个。
（1）有一个盒放0个，则相当于“有7个球放入3个盒中，每盒至少有一个”，则有：C6（2）*C4（1）=60种。
（2）有二个盒放0个，则相当于：“有7个球放入2个盒中，。。。。”，则有：C6（1）*C4（2）=36
（3）有三盒放0个，即7个球放一个盒中，则有：C4（3）=4种。
故共有：20+60+36+4=120种。

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网上这个方法也不错：

7个球全部放入4个盒子中,盒子可以有0个球,
如果先在每个盒中放上一个，就是:
把7+4=11个球全部放入4个盒子中,每个盒子至少有1个球.用挡板法:
11个球之间有10个空隙,插入3个挡板.就可以把11个球全分成4个盒子.
有C3/10=120 个放法

同样,把n个球放入m个盒子中,
就是(n+m)个球全部放入m个盒子中,每个盒子至少有1个球.
有C(m-1,n+m-1)种方法

7个球全部放入4个盒子中,盒子可以有0个球,
就是:
7+4=11个球全部放入4个盒子中,每个盒子至少有1个球.用挡板法:
11个球之间有10个空隙,插入3个挡板.就可以把11个球全分成4个盒子.
有C3/10=120 个放法

同样,把n个球放入m个盒子中,
就是(n+m)个球全部放入m个盒子中,每个盒子至少有1个球.
有C(m-1,n+m-1)种方法

Answer 2

第一个问题:
隔板法,将7个球摆在那. 依据题意可得,把7个球分成4部分. 7个球组成了6个空间(头尾两个不算),所以只要在这6个空间上放上4块板从而将7个球分成4部分就好了.
现在假设,第一块板可以放在任意空了,那么就剩下5个空,第二块可以放在剩下的5个空的任意一个.第三块可以放在剩下的4个空的任意一个.三块板就可以把球分成4部分.
而每一块板分别有 6种 5种 4种. 完成这件事要三步 所以要将它们相乘.
得:6*5*4=120.
我也是看了答案才知道做的.讲的很勉强. 只能这样了. -_-

推广:
假设有N个球,那么要 (M-1) 快板将他们分成 M 份(M 大于 1).参照第一个问题.
N 个球形成了 N-1 (N 大于 1) 个空间.

第一块板有 N-1 种放法.

第二块板有 N-2 种放法.

第三块板有 N-3 种放法.

......
第 M-2块板有 N-M+2放法.

第 M-1 块板有 N-M+1 中放法.

观察发现"第几块" 就有 "N-第几" 中放法.

同第一个问题,将放法相乘得:

(N-1)*(N-2)*(N-3)...(N-M+1) . N 和 M 都是大于 1 的整数.

所以方法共有: C (n-1,n-m-2) 种方法.

这是我的结论, 也许我总结错了 . 但是 "(N-1)*(N-2)*(N-3)...(N-M+1) . N 和 M 都是大于 1 的整数."这个之前的结论.应该没错.

有异议可以讨论. 知道正确答案告诉我 ^-^

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