Question

一道高一指数函数的题！！！

x1,x2是任意实数，f(x)=2^x,判断[f(x1)+f(x2)]/2与f[(x1+x2)/2]的大小。要具体过程。
如果把函数改成f(x)=lgx呢？回答的追加20分！！！！

Answer 1

很简单，需要不等式的知识
证明
由f(x)=2^x
则根据不等式a+b≥2√ab 当且仅当a=b时取等号a≥0 b≥0
[f(x1)+f(x2)]/2=(2^x1+2^x2)/2≥√(2^x1*2^x2)=√[2^(x1+x2)]
=2^[(x1+x2)/2]=f[(x1+x2)/2]
根据f(x)=2^x的单调递增性，当且仅当 2^x1=2^x2亦即x1=x2的时候取等号
所以 [f(x1)+f(x2)]/2≥f[(x1+x2)/2]

Answer 2

[f(x1)+f(x2)]/2=(2^x1+2^x2)/2=2的n-1次方（x1+x2)
f[(x1+x2)/2]=2^乘以(x1+x2)/2 和上面一样分子、分母都除以2后，答案同上
所以，它们两个相等。
^ 指n,我不知道怎么样表示次方，不过我感觉答案是对的，我上学那会儿，就数学最好了。如果错的话，楼主莫怪啊

Answer 3

[f(x1)+f(x2)]/2=[2^x1+2^x2]/2=2^x1*[1+2^(x2-x1)]/2
f[(x1+x2)/2]=2^[(x1+x2)/2]=2^x1*2^[(x2-x1)/2]
只要比较{[1+2^(x2-x1)]/2 } /{ 2^[(x2-x1)/2]}是否大于1即可
而上式=0.5*[a+1/a]>=1等号在x1=x2时成立
其中a=2^[(x2-x1)/2]
所以[f(x1)+f(x2)]/2较大

Answer 4

最简单的办法：
取 x1=1 x2=2
[f(x1)+f(x2)]/2=(2^1+2^2)/2=5/2
f[(x1+x2)/2]=2^(3/2)=2*1.414=2.828
所以f[(x1+x2)/2] 大于 [f(x1)+f(x2)]/2
如果x1=x2=0 则两者相等

Answer 5

[f(x1)+f(x2)]/2=(2^x1+2^x2)/2
>=2根号(2^x1*2^x2)/2=2^(x1+x2)/2

f[(x1+x2)/2]=2^(x1+x2)/2

故[f(x1)+f(x2)]/2>=f[(x1+x2)/2]