Question

定积分求平面图形的面积

求曲线y=2x^2,y=x^2及y=1所围成的平面图形的面积。
答案是(2^1/2)-(4/3)
要过程 谢谢哦~~ 越详细越好
4/3-2/3*根号2
我算的结果也是这个 难道是答案错了？

Answer 1

显然，围成的图形关于y轴对称。可以先算x>=0那部分的面积。
先作如下符号声明，以便叙述。
称以(0,0),(0,1),(1,1),(1,0)为顶点的正方形为图形a
称y=2x^2(x<=(2^1/2)/2)下的曲边梯形为图形b
称以(0,0)，（根号2/2，0），（根号2/2，1），（0，1）组成的矩形为图形c
称y=x^2（x<=1)下的曲边梯形为图形d
称要计算的那部分图形为图形e

则，易看出
e=a-d-(c-b)

d=∫(x^2)上限为1，下限为0
=1/3*x^3上限为1，下限为0
=1/3
b=∫(2x^2)上限为根号2/2，下限为0
=2/3*x^3上限为根号2/2，下限为0
=根号2/6
a=1*1=1
c=根号2/2*1=根号2/2

于是
e=a-d-(c-b)
=1-1/3-(根号2/2-根号2/6)
=2/3-根号2/3

于是
2e=4/3-2/3*根号2

即围成的面积为4/3-2/3*根号2
我反复算过了，我的答案没有错，你在看看你给的答案有没有错误？

关于问题补充：
你、我还有楼上两位答案都一样，难道还会错吗？我敢肯定书上的答案错了！

Answer 2

由对称性，面积
s＝2∫(0→1) [√y－√(y/2)]dy＝4/3－2√2/3

Answer 3

同学你的答案MS不对啊，偶算出来是4/3*(1-1/2*2^1/2)
真是难表达= =不知道你能不能看懂