Question

已知a,b,c,∈[0,+∞）,求证|a+b+c|/(1+|a+b+c|) ≤ |a|/(1+|a|) + |b|/(1+|b|) + |c|/(1+|c|) 成立。

已知a,b,c,∈[0,+∞）,求证|a+b+c|/(1+|a+b+c|) ≤ |a|/(1+|a|) + |b|/(1+|b|) + |c|/(1+|c|) 成立。

提示：用构造函数方法做。

Answer 1

证：对函数f(x)=x/(1+x),x,∈[0,+∞)有f(m+n)≤f(m)+f(n),m,n,∈[0,+∞）
f(m+n)≤ f(m)+f(n)
<=>(m+n)/(1+m+n)≤ m/(1+m)+n/(1+n)
<=>(m+n)/(1+m+n)≤(m+n+2mn)/(1+m+n+mn)
又(m+n)/(1+m+n)≤(m+n+mn)/(1+m+n+mn)≤(m+n+2mn)/(1+m+n+mn)
所以上式成立
则f(a+b+c)≤f(a)+f(b+c)≤f(a)+f(b)+f(c)
即 |a+b+c|/(1+|a+b+c|) ≤ |a|/(1+|a|) + |b|/(1+|b|) + |c|/(1+|c|) 成立