Question

大一微积分

求曲线xy+lny=1上点（1,1）处的切线方程

Answer 1

(PS:有类似特点的题我昨天回答过)

已知 函数的导数等于其反函数的导数的倒数.
即 dy/dx = 1/(dx/dy)

∵∴∞≠∈∩∪≤≥√

∵ xy + lny = 1
∴ x = (1-lny)/y

又∵
dx/dy = ( (1-lny)/y )'
= ((1-lny)' * y - (1-lny) * y')/y^2
= (-1/y * y - (1-lny))/y^2
= (-1 - 1 + lny)/y^2
= (-2+lny)/y^2
= -(2-lny)/y^2
= -(1+1-lny)/y^2
= -(1/y^2 + (1-lny)/y^2)
= -1/y^2 - (1-lny)/y^2

代入 x = (1-lny)/y
= -1/y^2 - x/y
= -1/y^2 - xy/y^2
= -(xy+1)/y^2

∴
dy/dx = -y^2/(xy+1)
其中 x = (1-lny)/y

所以曲线在点(1,1)出的切线斜率为 -1^2/(1*1+1) = -1/2

则该切线方程为: x+2y-3=0