Question

已知关于x的二次函数y=ax的平方+bx+从(a>0)的图像经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的

两点A,B,点A的坐标为（1，0），求1. c的值，2. a的取值范围。3. 该二次函数的图像与直线y=1交于C,D两点，设ABCD四点构成的对角线相交于点O，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0<a<1时，求证S1-S2为常数，并求出该常数

Answer 1

• 1.解：

将C(0,1)代入函数y=ax²+bx+c

得：1=0+0+c，即c=1

2.解：

将A(1,0)代入函数y=ax²+bx+1

得：0=a+b+1，即b=-1-a

∵函数与x轴有两个不同的交点

∴判别式△=b²-4a=(-1-a)²-4a=a²+2a+1-4a=a²-2a+1=(a-1)²>0

∴a-1≠0，即a≠1

3.解：y=ax²+(-1-a)x+1

利用求根公式：

x1=[-(-1-a)+√(a-1)²]/2a=(1+a+|a-1|)/2a=(1+a+1-a)/2a=1/a

x2=[-(-1-a)-√(a-1)²]/2a=(1+a-|a-1|)/2a=(1+a-1+a)/2a=1

∴B点坐标为(1/a,0)，在点A的右侧

令y=1，则ax²+(-1-a)x+1=1，即(ax-1-a)x=0

则x=0或者x=(1+a)/a

则D点坐标为((1+a)/a,1)

则AB=1/a-1=(1-a)/a，CD=(1+a)/a

设AD所在直线为y=k1x+b1，BC所在直线为y=k2x+b2

将A、B、C、D代入上面2式，得：

AD直线：y=ax-a，BC直线：y=-ax+1

联立这两个直线，得：ax-a=-ax+1，即x=(1+a)/2a

代入y=-ax+1，得：y=(1-a)/2

则P点纵坐标为(1-a)/2

则P到CD距离h1为：1-(1-a)/2=(1+a)/2，P到AB的距离h2为：(1-a)/2

则S1-S2=1/2×CD×h1-1/2×AB×h2

=1/2×(1+a)/a×(1+a)/2-1/2×(1-a)/a×(1-a)/2

=(1+a)²/4a-(1-a)²/4a

=[(1+a)²-(1-a)²]/4a

=[1+a²+2a-1-a²+2a]/4a

=4a/4a

=1

即S1-S2=1