Question

设f(x)是定义在R上的单调函数,满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(3)=2 试判断函数的

奇偶性
求f(6)的值
若f(x)+f(x-3)≤6，求x的取值范围

Answer 1

(1)f(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=0f(0+0)=f(0)+f(0)f(0)=0（2）令x=x,y=-xf(x-x)=f(x)+f(-x)f(0)=f(x)+f(-x)f(x)=-f(-x)(3)由（2）知，函数f(x)为奇函数，又因为f(0)=0,f(1)=2>0,可知当x>0,f(x)>0当x<0,f(x)<0f(kx)+f(x-x^2-2)=f(kx+x-x^2-2)<0所以kx+x-x^2-2<0整理得x^2-(k+1)x+2>0可知方程对应的抛物线开口向上，因此若要x∈R恒成立，即△<0△=b^2-4ac=(1+k)^2-8<0即(1+k)^2<8解得-1-2√2<k<-1+2√2