Question

大学物理问题

一质量M=3.96kg的物体，悬挂在劲度系数k=400N/m的轻弹簧下端，一质量m=40g的子弹以v=152m/s的速度从下方竖直朝上射入物体之中，然后子弹与物体一起作简谐振动，若取平衡位置为原点，x轴指向下方，求：振动方程。

Answer 1

分析：
　　阶段1：子弹击中物体，时间极短，子弹和物体组成的系统动量守恒。
设打击刚结束时它们的速度（方向是竖直向上）大小是 V1
则有　m* V＝（M＋m）* V1
得　V1＝m* V /（M＋m）＝0.04 * 152 /（0.04＋3.96）＝1.52　m/s
　　阶段2：留在物体中的子弹、物体、弹簧构成弹簧振子，做简谐运动。
由于没有子弹打击时，物体悬挂在弹簧下端，静止时弹簧的伸长量是
X1＝Mg / K＝3.96*10 / 400＝0.099 米
子弹打击完毕后，假如不振动，那么物体静止时的位置就是弹簧振子后来情况中的平衡位置，此处对应弹簧的伸长量是
X2＝（M＋m）g / K＝（3.96＋0.04）*10 / 400＝0.1米

　　若取后来情况中的平衡位置为坐标原点，X轴指向下方，那么刚打击完毕时振子的位置坐标是
X0＝－（X2－X1）＝－（0.1米－0.099米）＝－0.001 米
此时振子的动能是　Ek0＝（M＋m）* V1^2 / 2＝（3.96＋0.04）* 1.52^2 / 2＝4.6208 焦耳　　
　　设振子在最高点时的位置坐标是 （－A），A是振幅，则刚打击完毕处到最高点的距离是
h＝X0－（－A）＝A＋X0
由弹簧振子机械能守恒　得
Ek0＋（K * X1^2 / 2）＝（M＋m）g * h＋[ K * (X1－h)^2 / 2 ]
4.6208＋（400* 0.099^2 / 2）＝（3.96＋0.04）*10*（A－0.001）＋[ 400* (A－0.001)^2 / 2 ]
得　A＝0.108 米

　　振子的周期是　T＝2π*根号[（M＋m）/ K ]＝2*3.14*根号[(3.96＋0.04) / 400]＝0.628 秒
若从平衡位置向下运动开始计时，则振子的振动方程是
X＝A* sin(2π t / T)＝0.108 * sin（10 * t）　米

Answer 2

首先是动量守恒，mv=（m+M）v1，有v1=1.52m/s
开始时的弹簧伸长量为3.96*10/400=9.9cm
平衡位置的伸长量10cm，0.5*k*A*A=0.5*k*0.001*0.001+0.5*（M+m）*V1*V1，求出振幅A
角频率w=根号下（k/M+m），求出角频率，
根据振幅大小和其实坐标-0.1cm，用旋转矢量求出初相位

追问

能否解释一下0.5*k*A*A=0.5*k*0.001*0.001+0.5*（M+m）*V1*V1？谢谢！

追答

等号左边是总能量，右边是起始动能+势能，

追问

0.5*k*0.001*0.001中的0.001是不是应该为0.01？而且那个伸长量10cm是9.9cm的近似值吗？

追答

伸长量10cm是（M+m）*g/k，不是近似
另外，起始势能相对于动能是无穷小，可以忽略，这样，振幅就是15.2cm，初相位就是Pi/2，角频率是10，所以振动方程就是15.2cos（10t+Pi/2）