Question

如图,在三角形ABC中,角C=90度,AC=3,BC=4,P为AC边上的一动点,PE垂直于AB于E,EF垂直于BC于F

是否存在P点，使三角形APE相似于三角形PCF，若存在，求PA的长

Answer 1

1. △APE∽△ABC     若要△APE∽△PCF    则△PCF∽△ABC   那么FP∥BA  ∴P点存在

2. ∵EF⊥BC                                          ∴△BFE∽△BCA  ∴BF／BC＝EF／AC

       ∵EF∥AC   FP∥BA                           ∴EF＝PA  FP＝EA

       ∵BF＝BC－CF  BC＝4  AC＝3          ∴(4－CF)／4＝PA／3     则☀CF＝4－4PA／3

       ∵△APE∽△PCF                              ∴FP／PA＝CP／EA          则 FP·EA＝PA·CP   

  又  EA＝FP, ☀CP＝AC－PA＝3－PA          ∴☀FP²＝(3－PA)·PA＝3PA－PA²

△CPF中，CF²＋CP²＝FP²   代入☀     (4－4PA／3)²＋(3－PA)²＝3PA－PA²

解方程得PA＝2.2