Question

函数序列的一致收敛性，证明题，急求各位大师帮忙！！！

Answer 1

证明过程用到两个辅助不等式(利用导数容易证明)：
1. 当x≤0时，x≤e^x-1≤0　　　　　①
2. 当x≥0时，-x²/2≤ln(1+x)-x≤0　　②

对x∈[0,A]，x/n≥0
由不等式②，n*ln(1+x/n)-x=n*[ln(1+x/n)-x/n]≤0
故|(1+x/n)^n-e^x|=|e^[n*ln(1+x/n)]-e^x|
=e^x*|e^[n*ln(1+x/n)-x]-1|
≤e^x*| n*ln(1+x/n)-x |　　　由不等式①
=e^x*n*| ln(1+x/n)-x/n |
≤e^x*n*(x/n)²/2 由不等式②
= e^x*x²/(2*n)
≤ e^A*A²/(2*n)

对任意的ε>0，取N=[e^A*A²/(2*ε)] (N只与ε有关)，当n>N时，总有
|(1+x/n)^n-e^x|≤e^A*A²/(2*n)< ε
即函数列{fn(x)}在[0,A]上一致收敛于e^x