Question

有关于弹性力学的一些基本概念提问

按应力求解弹性力学问题，为什么除了满足平衡方程、边界条件外，还必须满足变形协调方程（相容方程）？而按位移求解为什么不需要满足变形协调方程？

Answer 1

这里有一个问题，在这些方程中，应力只是一个中间变量，而原始的自变量是位移，你现在把中间变量位移当做了自变量来求解，当然就要满足本构方程（相容性方程），而按位移求解的话，就不需要，因为按照本构方程知道了位移后就知道应变，知道应变就可以结合本构方程求出应力

Answer 2

不是任意一个张量函数都可以作为应力张量(即便满足平衡方程)或应变张量的。
它们的分量间必须满足一定关系，这个关系就是所谓相容性条件。
对于应变张量的分量来说，这个关系就是Saint-Venant应变协调方程；
对于应力张量的分量来说，这个关系就是Michell应力协调方程。
相应地，不是任意的一个矢量函数都可作为位移矢量。
因为，应变张量实际上就是位移梯度张量的泛函，简言之，应变即位移对坐标各分量微分后在进行简单的代数运算，有了应变，自不必说应力，但应力分量必须满足平衡方程。
所以，按位移求解必须满足用位移表示的平衡方程，即Navier方程。