Question

如图，A,B是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的左右顶点，M是椭圆上异于A,B两点

如图，A,B是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的左右顶点，M是椭圆上异于A,B两点的任意一点，若椭圆C的离心率为1/2，且右准线L的方程为X=4 问:设直线AM交L于点P，以MP为直径的圆交直径MB于Q.试证明:直线PQ于X轴的交点R为定点，求出R坐标。

Answer 1

a^2/c=4
c/a=1/2
a=2
c=1
b^2=3
x^2/4+y^2/3=1

设准线交x轴于T,O为原点
，M坐标为(xo,yo)
AT/PT=(xo+AO)/yo
PT=ATyo/(xo+2)=6yo/(xo+2)
P点坐标为(4,6yo/(xo+2))
MB的斜率为(-yo)/(2-xo)
PQ垂直于MB,所以PQ斜率为(2-xo)/yo,和MB斜率互为负倒数
PQ所在直线方程为y=((2-xo)/yo)(x-OR) 因为横截距为OR

x-OR=y*yo/(2-xo)
PQ过点P,代入P点坐标
4-OR=6yo^2/(4-xo^2)
由于xo,yo在椭圆上
xo^2+4yo^2/3=4
4-xo^2=4yo^2/3
所以4-OR=6/(4/3)=9/2
OR=-0.5
R的坐标为(-0.5,0)

追答

把OR改成定义为R的横坐标更好

(a^2/c-Xr)=(a^2/c+a)/(a^2/b^2)
a^2/c-Xr=b^2/c+b^2/a
Xr=a^2/c-b^2(1/a+1/c)
通式可以表示为这样

追问

可是图上的R在X轴正半轴

追答

那是不确定的

楼主你眼睛能被假象骗，脑子不能

a^2/c-(a^2-c^2)(a+c)/ac
=(a^3-a^3-a^2c+ac^2+c^3)/ac
=(-a^2+ac+c^2)/a

分子=c^2+ac+a^2/4-5a^2/4
(c+a/2)>=根号5a/2时R横坐标大于0
离心率c/a>=（根号5-1）/2时，R的横坐离心率标大于0，1/2不符合这个条件

别椭圆画得比例不真就被骗了

R的横坐标大于0需要离心率大于（根号5-1）/2

R的横坐标大于0需要离心率大于（根号5-1）/2

其实可以再出一小题问何时R落在x正半轴