Question

如图，在△ABC中，AC=BC=10，AB=16，点P在边AB上（不与点A,B重合），作∠CPQ=

∠A，PQ交BC于Q，设AP=x，BQ=y.(1)求出y与x之间的函数关系式。（2）当x取何值时，△PCQ是等腰三角形？

Answer 1

（1）如图：∵CA=CB，∴∠A=∠B，∵∠CPQ=∠A，∴ ∠CPQ=∠B

∵∠PCQ=∠PCB，∴△CQP∽△CPB，∴CP/CB=CQ/CP，∴CP²=CB×CQ=10×（10-y）

过C做CH⊥AB于H，则BH=AH=8，∴根据勾股定理可知CH=6

∵PH=AH-AP=8-x

∴PC²=CH²+PH²=6²+（8-x）²

∴10×（10-y）=6²+（8-x）²

即y=-1/10x²+8/5x

（2）如果△PCQ是等腰三角形

∵∠CQP＞∠B，∠B=∠CPQ，∴∠CQP≠∠CPQ,即CP≠CQ

当PC=PQ时候则△PCQ是等腰△，∵△CQP∽△CPB，

∴PC/BC=PQ/PB，∴BC=PB=10

∴AP=6，即x=6

当CQ=PQ时候

同理根据相似可知BP=CP

∴∠B=∠BCP，

∵∠A=∠B，∴∠A=∠BCP，又∠B=∠B，∴△BPC∽△BCA，

∴BP/BC=BC/BA，

∴BP/10=10/16

∴BP=100/16=25/4，∴AP=16-BP=39/4

即此时x=39/4

∴综上所述，当x=6或x=39/4时，△PCQ是等腰三角形