Question

如图，求解！

Answer 1

将一张四条腿的方桌放在不平的地面上，不允许将桌子移到别处，但允许其绕中心旋转，是否总能设法使其四条腿同时落地？
因此我们假设 （总可以使三条腿同时着地）
（1）地面为连续曲面
（2）方桌的四条腿长度相同
（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的
（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如 图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D处，A、C的初始位置在x轴上，而B、D则在y轴上，当方桌绕中 心0旋转时，对角线 AC与x轴的夹角记为θ。
容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 f(θ)为A、C离地距离之和，g(θ)为B、D离地距离之和，它们的值 由θ唯一确定。由假设（1），f(θ)、g(θ)均为θ的连续函数。又 由假设（3），三条腿总能同时着地， 故f(θ)g(θ)=0必成立（ θ）。不妨设f(0)=0,g(0)>0（若g(0)也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：
已知f(θ)、g(θ)均为θ的连续函数，f(0)=0,g(0)>0且对任意θ有f(θ)g(θ)=0，求证存在某一θ0，使f(θ0)=g(θ0)=0。
（证法一）当θ=π/2时，AC与BD互换位置，故f(π/2)>0 , g(π/2)=0。作h(θ)=f(θ)-g(θ)，显然，h(θ)也是θ的连续函数，h(0)=f(0)-g(0)<0而h(π/2)=f(π/2)-g(π/2)>0，由连续函数的取零值定理，存在 θo，0<θo <π/2，h(θ0)=0，即f(θo)=g(θo)。又由于f(θo)g(θo)=0，故必有f(θo)=g(θo)=0，证毕。
（证法二）同证一可得 f(π/2)>0,g(π/2)=0。令θo =sup {θ|f (ζ)=0，0≤ζ<θ},显然θ0 <π/2。因为f 连续，由上确界定义必 有f(θ0)=0，且对任意小 的ε>0，总有δ>0且δ<ε，使f(θ0+δ)>0。因为f(θ0+δ)g (θo+δ)=0，故必有g (θ0+δ)=0，由δ可任意小且g连续，可知必 有 g (θ0)=0，证毕。
证法二除用 到f、g的连续性外，还用到了上确界的性质。

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