Question

对于两个定义域相同的函数f（x），g（x），若存在实数m、n使h（x）=mf（x）+ng（x），则

对于两个定义域相同的函数f（x），g（x），若存在实数m、n使h（x）=mf（x）+ng（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．

（2）若h（x）=2x2+3x+1由函数f（x）=x2+ax，g（x）=x+b（a、b∈R且ab≠0）生成，求a+2b的取值范围；
（3）试利用“基函数f（x）=log4（4+1）、g（x）=x-1”生成一个函数h（x），使之满足下列件：①是偶函数；②有最小值1；求函数h（x）的解析式

Answer 1

对于两个定义域相同的函数f（x），g（x），若存在实数m、n使h（x）=mf（x）+ng（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．

（2）若h（x）=2x2+3x+1由函数f（x）=x2+ax，g（x）=x+b（a、b∈R且ab≠0）生成，求a+2b的取值范围；
（3）试利用“基函数f（x）=log4（4^x+1）、g（x）=x-1”生成一个函数h（x），使之满足下列件：①是偶函数；②有最小值1；求函数h（x）的解析式

(2)解析：∵f(x)=x^2+ax，g(x)=x+b（a、b∈R且ab≠0）
h(x)=mf(x)+ng(x)=mx^2+amx+nx+nb=mx^2+(am+n)x+nb
又h(x)=2x2+3x+1
∴m=2；am+n=3==>2a+n=3；nb=1
a+2b=(3-n)/2+2/n
令S(n)=(3-n)/2+2/n （n≠0）
S’(n)=-1/2-2/n^2<0
∴当n<0时，S(n)单调减；当n>0时，S(n)单调减；
∴a+2b的取值范围为R

(3)解析：∵f(x)=log(4,4^x+1)，g(x)=x-1
则h(x)=mf(x)+ng(x)=mlog(4,4^x+1)+n(x-1)
h(x) 是偶函数
mlog(4,4^(-x)+1)-n(x+1)= mlog(4,4^x+1)+n(x-1)
mlog(4,4^x)+2nx=0==>mx+2nx=0==>m=-2n
h(x) 有最小值1
h(x)=-2nlog(4,4^x+1)+n(x-1)
h’(x)=-2n*4^x/(4^x+1)+n=0==> x=0
h(0)=-n-n=1==>n=-1/2
∴m=1
∴h(x)=log(4,4^x+1)-(x-1)/2

Answer 2

解：（1）设h（x）=m（x2+3x）+n（3x+4）=mx2+3（m+n）x+4n，
∵h（x）是偶函数，∴m+n=0，∴h（2）=4m+4n=0；（4分）
（2）设h（x）=2x2+3x-1=m（x2+ax）+n（x+b）=mx2+（am+n）x+nb
∴

m＝2
am+n＝3
nb＝−1

得a＝3−n2
b＝−1n
∴a+2b=3−n2 -2 n =32 -n2 -2 n

由ab≠0知，n≠3，
∴a+2b∈(−∞， −12 ) ∪(72 ，+∞)
（3）设h（x）=mlog4（4x+1）+n（x-1）
∵h（x）是偶函数，∴h（-x）-h（x）=0，
即mlog4（4-x+1）+n（-x-1）-mlog4（4x+1）-n（x-1）=0
∴（m+2n）x=0得m=-2n（13分）
则h（x）=-2nlog4（4x+1）+n（x-1）=-2n[log4（4x+1）-12 x+12 ]=-2n[log4（2x+1 2x ）+12 ]
∵h（x）有最小值1，则必有n＜0，且有-2n=1∴m=1．n=−12
∴h（x）=log4（2x+12x ）+12

h（x）在[0，+∞）上是增函数，在（-∞，0]上是减函数．

追问

我想知道a+2b的范围是怎么算出来的 而且复制过来有乱码

追答

解：（1）设h（x）=m（x2+3x）+n（3x+4）=mx2+3（m+n）x+4n，
∵h（x）是偶函数，∴m+n=0，∴h（2）=4m+4n=0；（4分）
（2）设h（x）=2x2+3x-1=m（x2+ax）+n（x+b）=mx2+（am+n）x+nb
∴m＝2
am+n＝3
nb＝−1
得a＝3−n2
b＝−1n
∴a+2b=3−n2 -2 n =32 -n2 -2 n

由ab≠0知，n≠3，
∴a+2b∈(−∞，−12 ) ∪(72 ，+∞)
（3）设h（x）=mlog4（4x+1）+n（x-1）
∵h（x）是偶函数，∴h（-x）-h（x）=0，
即mlog4（4-x+1）+n（-x-1）-mlog4（4x+1）-n（x-1）=0
∴（m+2n）x=0得m=-2n（13分）
则h（x）=-2nlog4（4x+1）+n（x-1）=-2n[log4（4x+1）-12 x+12 ]=-2n[log4（2x+1 2x ）+12]
∵h（x）有最小值1，则必有n＜0，且有-2n=1∴m=1．n=−12
∴h（x）=log4（2x+12x ）+12

h（x）在[0，+∞）上是增函数，在（-∞，0]上是减函数．

追问

请问你会做吗 我想问些细节的地方

追答

问好了

追问

首先 我是2x^2+3x+1 还有我想知道根据n不等于3 如何求出a+2b的范围

？