Question

定义在R上的函数f(x)满足f(x)+ f(x +5)=16,当x∈(-1,4]时,f(x)=x^2-2^x,

定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,当x∈(-1,4]时,f(x)=x^2-2^x,则函数f(x)在【0,2013】上零点个数。
我的问题：我已知了周期为10，答案上说在一个周期(-1,9]内(-1,4]上有3个零点，(4,9]上无零点。但是我并不知道(4,9]的函数解析式啊，题目也没有告诉我，我怎么知道(4,9]上有没有零点呢？

Answer 1

定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,当x∈(-1,4]时,f(x)=x^2-2^x,则函数f(x)在【0,2013】上零点个数。

解析：∵定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,
令x=x+5代入上式得f(x+5)+f(x+10)=16
∴f(x)=f(x+10)，即是以10为最小正周期的周期函数
∵当x∈(-1,4]时,f(x)=x^2-2^x==>f(-1)=1/2, f(0)=-1, f(1)=-1, f(2)=0, f(3)=1, f(4)=0
∴当x∈(-1,4]时,f(x)有三个零点
∵f’(x)=2x-2^xln2，∴当x∈(1,9)时，f’(x)<0，单调减，即无零点
综上：函数f(x)在一个周期内有三个零点，
2013/10=201+3
就是说在区间[.,2013]上有200个完整周期，则3*200=600
在第一个周期内，少一个零点，即有二个零点
当x∈(2009,2013]时，也有二个零点
∴函数f(x)在【0,2013】上共有604个零点

追问

可是x∈（5，9）时函数不是f(x)=x^2-2^x啊，怎么能求导单调递减就无零点呢，函数图像都不是一个啊

追答

在x∈（5，9）时，没说不是f(x)=x^2-2^x，就可以理解为是，因为这是函数一个周期内

Answer 2

根据表达式f(x) f(x 5)=16，可知在(4,9]上，f(x)=16-f(x-5),而x-5在(-1,4]上，故f(x-5)=(x-5)^2-2^(x-5),剩下的就是代入整理

追问

怎么代入整理呢