Question

已知直线y=x-m与抛物线y^2=2x相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，O为坐标原点。

已知直线y=x-m与抛物线y^2=2x相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，O为坐标原点。当m=2时，证明:OA⊥OB。

Answer 1

当m=2时，直线y=x-m就是y=x-2。联立:y=x-2、y^2=2x，消去y，得:(x-2)^2=2x，∴x^2-4x+4=2x， ∴x^2-6x+4=0。 显然，x1、x2是方程x^2-6x+4=0的两根，∴由韦达定理，有:x1+x2=6、x1x2=4。 ∵A、B都在直线y=x-2上，∴y1=x1-2，y2=x2-2。 ∴向量OA=(x1，x1-2)、向量OB=(x2，x2-2)， ∴向量OA??跨錌=x1x2+(x1-2)(x2-2)=4+x1x2-2(x1+x2)+4=8+4-2??0， ∵OA⊥OB。