Question

线性代数问题（关于矩阵的秩和伴随矩阵）

A为n（n>=2)阶方阵，A*是A的伴随矩阵，r(A)表示A的秩，证明：当r(A）=n-1时，r(A*)=1.
麻烦解释一下,谢谢！

Answer 1

要使用一个重要结论：AB=0，A是的列数=B的行数n，则r(A)+r(B)≤n。这个应该是书上的例题，以同济版线性代数为例。

AA*=0，所以r(A)+r(A*)≤n，所以r(A*)≤n-(n-1)=1。
又r(A)=n-1，A有n-1阶子式非零，所以r(A*)≥1。
所以r(A*)=1。

追问

AA*=0是怎么得到的？

追答

r(A)=n-1时，|A|=0。AA*=|A|E=0