Question

求证一道初一的数学证明题

任意三角形ABC，D是BC的中点，用直角尺延D画一直角三角形，两条直角边与AB、AC分别交与点E、F，求BE+FC与EF的长短关系。

Answer 1

首先，请你不要嫌我的答案长，题不难，我的回答不仅会告诉你答案，而且教会你做这样的题目的方法。有耐心的话，你就会发现很值。

题目中的BE和CF不在同一个三角形中，甚至根本不在一起。所以，要知道BE和CF相加之后怎样和EF比长短，就必须把BE和CF弄到一起

所以：
延长ED，假设延长到G，使得CG和BE平行，并且连接CG。这样就构成了新的三角形 CDG ！
这个新的三角形和BDE是全等的(BD=CD、BE//CG).
所以：
BE=CG.

到这时，题目就可以看成 CG+CF 和 EF 之间的关系了

因为：
CG,CF在三角形CFG里面，而只需要把EF也想办法弄到CFG里面就更能体现出问题来了。

这时我们发现——题目中的ED垂直FD还没有用，有什么用呢？——它可以用来证明：FD是三角形EFG的中垂线！！！

所以：
三角形EFG是等腰三角形，所以EF=FG！！！！！

题目就又变成了CG+CF和FG是什么关系了，很明显嘛！！根据“在同一个在三角形中，任意两边长度的和都大于第三边”，得证。