Question

如图，D是等腰直角三角形ABC的直角边BC上一点，AD的垂直平分线分别交AC,AD,AB于点E,O

如图，D是等腰直角三角形ABC的直角边BC上一点，AD的垂直平分线分别交AC,AD,AB于点E,O,F,且BC等于1。（1）若AD是边BC上的中线，求AE的值。（2）若四边形AEDF是菱形，求CD的值。

Answer 1

1.
∵△CDE为RT△
∴CD²+CE²=DE²
∵EF垂直且平分AD
∴△DEM≌△AEM
∴DE=AE
∵CD²+CE²=DE²
∴AE²=CD²+CE²
∵AE=AC-CE=2-CE
∴AE²=4-4CE+CE²=CD²+CE²
得出4-4CE=CD²
∵CD=√2
∴CE=1/2
∴AE=2-CE=3/2
2.
∵△DEM≌△AEM
∴∠CAD=∠ADE
∵AD平分∠BAC
∴∠ADE=∠BAD
∴CE∥AB
同理可证DF∥AC
∵∠ADE=∠ADF，∠DME=∠DMF，DM=DM
∴△DEM≌△DMF
∴DE=DF
因此四边形AECF为菱形
∵AC=2，∠CAD=22.5°
∴CD=AC*tg22.5°=2tg22.5°≈0.8284

追问

CD为什么等于根号2？你这是复制的吧

我说的是BC等于1，你为什么等于2？

追答

解题方法 仅供参考

追问

你回答的完全不符题意啊

追答

解：1）
∵DAD是边BC上的中线
∴CD=1/2BC=1/2
AD=√(AC²+CD²)=√5/2
∵EF垂直平分AD
∴∠AME=90°，AM=1/2AD=√5/4
∵∠CAD=∠CAD
∴△AME∽△ACD
AE/AM=AD/AC
AE=AM*AD/AC=5/8

2）
∵四边形AEDF是菱形
∴AE=DE,DE//AB
CE=CD
DE=√(CE²+CD²)=√2CD
CD+√2CD=1
CD=√2-1

追问

M哪来的？

追答

M就是O

追问

你觉得三角形AOE和三角形ACD全等吗？

追答

请注意，我用的是∽，这个是相似