Question

大神，求解！！

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Answer 1

(1)用反证法。设a^2-b^2与a^2有公约数h(h≠1),且a^2-b^2＝h*X,a^2＝h*Y则b^2=a^2－(a^2-b^2)＝h*Y-h*X=h*(Y-X)因此a^2、b^2有公约数h,但a、b互质，则a^2、b^2互质，从而出现矛盾！所以a^2-b^2与a^2互质。同理可证a^2-b^2与b^2也互质。
(2)由k=m*a^2和k=(m+116)*b^2，得m*a^2=(m+116)*b^2，m=116*b^2/(a^2-b^2)由于b^2与(a^2-b^2)互质，所以116能被(a^2-b^2)整除。即116＝n*(a^2-b^2)【n为正整数】由于116＝1×2×2×29， a^2-b^2=(a+b)*(a-b)且要保证(a+b)与(a-b)同奇或同偶，只能n=1,a+b=58,a-b=2或者n=4,a+b=29,a-b=1第一种情况解得a=30,b=28，与a、b互质的条件矛盾，故舍弃。第二种情况解得a=15,b=14则m=116*b^2/(a^2-b^2)=116*14^2/(15^2-14^2)=784k=m*a^2=784*15^2=176400
(3)a、b的最大公约数为5，设a=5*Ra,b=5*Rb（Ra,Rb互质）则m=116*b^2/(a^2-b^2)=116*Tb^2/(Ra^2-Rb^2)由上面的结论，Ra=15,Rb=14,m=784a=5*Ra=75,b=5*Rb=70k=m*a^2=784×75^2=4410000
望理解采纳，