Question

数学竞赛题求详细解释

如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的魔术数，求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，…，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，...，an中都至少有一个为m的魔术数。

不要直接上答案，我有，太简略不明白

Answer 1

单独考察m，除以7的余数，只有0、1、2、3、4、5、6 这7种情况；
M放在m的左侧，m的数位是k，即m是k位数，则Mm=M*（10的k次方）+m；
Mm若被7整除，则m和M*（10的k次方）除以7的余数需要满足以下条件
当m除以7的余数是 0、1、2、3、4、5、6时
M*（10的k次方）的余数需对应为 0、6、5、4、3、2、1 方可满足魔术数的条件。
所以互不相等的正整数至少要有7个。
即当a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7为连续正整数时，n取最小值，最小值为7。

关于抽屉原理的部分，你可以这么理解：（M的数值是M*10的k次方，以下简称M）
M和m除以7的余数可能有几种情况？
有7种，即0、1、2、3、4、5、6
M和m除以7的余数必须和是7，才能构成魔术数
用7个抽屉，分别写上0~6的数字，这7个抽屉代表m除以7的余数，
然后任意选1个抽屉，往里放0~6这7个数，两个数的和可以整除7（0或7）就成功，否则就不能放进去，至少得放多少次才能配对成功？
当然，至少是7次。

Answer 2

我汗颜,读不懂题目,向你学习了.数论的题目真难.我也关心这道题目的解法.

追问

解：若n≤6，取m=1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有a1，a2，…an中的一个正整数 M 是i，j (1 ≤ i＜ j ≤ 7 ) 的公共的魔术数，即 7 | 10M+ i，7 | 10M + j 则有 7 | j - i，但0 ≤ j - i ≤ 6 ，矛盾．故n≥7．
还有一半，解释一下抽屉原理那里

追答

原理1：把n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一定有一类中有2个或2个以上的元素。原理2：把m个元素任意放入n（n＜m＝个集合，则一定有一个集合呈至少要有k个元素。 其中 k＝ （当n能整除m时） 〔 〕＋1 （当n不能整除m时）（〔 〕表示不大于 的最大整数，即 的整数部分）原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素

追问

又当为a1，a2，…，an=1，2，3…，7 时，对任意一个正整数 m，设其为k 位数（ k 为正整数）．则10^k·i+m（i=1，2，...，7）被7 除的余数两两不同．若不然，存在正整数i，j (1≤i＜j≤7)，满足7|(10^k·j +m)-(10^k·i + m)，即7|10^k·（j-i），从而7|j- i矛盾．