Question

已知函数f（x）=x^3-x （1）求曲线y=f（x）在点（t,f（t））处的切线方程 （2）设a

已知函数f（x）=x^3-x （1）求曲线y=f（x）在点（t,f（t））处的切线方程 （2）设a大于0，如果过点（a,b）可作曲线y=f（x）的三条切线，求证：-a小于b小于f（a）

Answer 1

1)f'(x)=3x^2-1
f'(t)=3t^2-1, f(t)=t^3-t
因此在M点的切线为：y=(3t^2-1)(x-t)+t^3-t=(3t^2-1)x-2t^3

2)设切点为(t, f(t)), 则过P点的切线为：y=(3t^2-1)(x-t)+t^3-t
因为过P点，所以切线斜率3t^2-1=(t^3-t-b)/(t-a)
3t^3-3at^2-t+a=t^3-t-b
即化简为：2t^3-3at^2+a+b=0
此方程需有三个不等实根
令g(t)=2t^3-3at^2+a+b
g'(t)=6t^2-6at=0, 得极值点：t=0, a
因此极大值g(0)=a+b>0,故b>-a
极小值g(a)=-a^3+a+b<0, 故b<a^3-a=f(a)
因此有：-a<b<f(a)