Question

关于泰勒公式的推导过程

这是我在问问上看到的一个回答：泰勒公式在x=a处展开为
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+……
设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①
令x=a则a0=f(a)
将①式两边求一阶导数，得
f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……②
令x=a,得a1=f'(a)
对②两边求导，得
f"(x)=2!a2+a3(x-a)+……
令x=a,得a2=f''(a)/2!
继续下去可得an=f(n)(a)/n!
所以f(x)在x=a处的泰勒公式为：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……
应用：用泰勒公式可把f(x)展开成幂级数，从而可以进行近似计算，也可以计算极限值，等等。
另外，一阶泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理
f(b)=f(a)+f(ε)(b-a),ε介于a与b之间。
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书上的过程大概也是这样的 但是这一步：设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①
令x=a则a0=f(a)
将①式两边求一阶导数，得
f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……② 求导的时候应该是对x求导吧 那这个好像是在对(x-a)求导 而且既然x=a的话x-a不就等于0么？ 写成这样还有什么意义呢？

Answer 1

泰勒公式的推导与证明方法如下：

一、传统方法

1.带有佩亚诺型余项的泰勒公式的推导与证明

2.带有拉格朗日型余项的泰勒公式（泰勒定理）的推导与证明

二、新的推导与证明方法

Answer 2

其实，对x求导跟对(x-a)求导是一样的。因为他们的微分是一样的：dx=d(x-a).,而，x=a 这一条件只是用来求得a0=f(a) 。后面的f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……② 仍然是一数学表达式啊！