Question

设抛物线y2=4ax(a>0)的焦点为A,以B(a+4,0)为圆心,|AB|为半径,在x轴上方画半圆,设

设抛物线y2=4ax（a＞0）的焦点为A，以B（a+4，0）为圆心，|AB|为半径，在x轴上方与抛物线相交与不同的两点M、N，点P是MN的中点．（1）求a的取值范围
（2）求|AM|+|AN|的值；（3）是否存在实数a，恰使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？若存在，求出a，若不存在，说明理由．

Answer 1

抛物线y²=4ax

焦点A是(a,0)
以B（a+4，0）为圆心，|AB|为半径

∴圆方程是
（x-a-4)²+y²=16
和抛物线方程联立得到：
x²+（2a-8)x+a²+8a=0
(1)
在x轴上方与抛物线相交与不同的两点M、N
∴
Δ=(2a-8)²-4(a²+8a)>0
得
a<1
(2)
设该方程的两根Xm,Xn 是M,N的横坐标
抛物线准线方程为x=-a
因此|AM|+|AN|= Xm+a + Xn+a =-(2a-8)+2a=8

(3)
使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列

假设存在这样的a，
使得：2|AP|=|AM|+|AN|，
∵|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|，
∴|AP|=|PP′|.
由定义知点P必在抛物线上，
这与点P是弦MN的中点矛盾，
所以这样的a不存在.
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