Question

抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,√2),线段AF的中点在抛物线上，设动直线l: y=kx+m

抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,√2),线段AF的中点在抛物线上，设动直线l:y=kx+m 与抛物线相切与点P，且与抛物线的准线相交与Q，以PQ为直径的圆记为圆C
（1）求P
（2）证明圆C与x轴必有公共点
（3）在坐标平面上是否存在定点M ，使圆C恒过定点M？ 若存在求M坐标 若不在说明理由

Answer 1

(1) F(p/2, 0)

AF的中点M(p/4, √2/2)在抛物线上：(√2/2)² = 2p*p/4

p = 1 (舍去p = -1 < 0)

(2)

准线x = -p/2 = -1/2

y = kx + m = m - k/2, Q(-1/2, m - k/2)

y² = (kx + m)² = 2x

k²x² +2(km - 1)x + m² = 0   (i)

4(km - 1)² - 4k²m² = 0

km = 1/2           

(i)变为(kx - 1/(2k))² = 0

x = 1/(2k²)

P(1/(2k²), 1/k)

Q(-1/2, 1/(2k) - k/2)

PQ的中点为C,其与x轴的距离为h, 其余见图

(3)如果M存在，很自然地应当为一个特殊点，最可能的就是焦点F(1/2, 0)

代入F的坐标，的确满足圆的方程．　

当然,证明PF与QF垂直亦可(斜率之积为-1)