Question

设集合A={(x,y)|y=2x-1,},B={(x,y)(y=ax^2-ax+a}

设集合A={(x，y)|y=2x-1，x属于正整数}，B={（x，y）|y=ax^2-ax+a，x属于正整数}，是否存在非零整数a，使A∩B≠空集 ，证明你的结论。
错了错了，请看下面的题，上面的题打错了
设集合A={(x，y)|y=2x-1，x属于正整数}，B={（x，y）|y=ax^2-2ax+a，x属于正整数}，是否存在非零整数a，使A∩B≠空集 ，证明你的结论。

Answer 1

答：

A={(x，y)|y=2x-1，x为正整数}
所以：y是正奇数
B={(x，y)|y=ax^2-ax+a，x为正整数}
y=a(x^2-x+1)=2x-1
ax^2-(a+2)x+a+1=0
判别式=(a+2)^2-4a(a+1)
=a^2+4a+4-4a^2-4a
=-3a^2+4>=0
a^2<=4/3
a为非0整数，则a=1或者a=-1
当a=-1时，y=a(x^2-x+1)=-(x^2-x+1)<0，不符合
当a=1时，y=a(x^2-x+1)=x^2-x+1
当x=1时，y=x^2-x+1=1-1+1=1；y=2x-1=2-1=1
所以：存在a=1使得A∩B≠空集

追问

是ax^2-2ax+a，不是ax^2-ax+a，开始打错了，抱歉

追答

A={(x，y)|y=2x-1，x为正整数}
所以：y是正奇数
B={(x，y)|y=ax^2-2ax+a，x为正整数}
y=a(x^2-2x+1)=a(x-1)^2=2x-1
ax^2-(2a+2)x+a+1=0
判别式=(2a+2)^2-4a(a+1)
=4a^2+8a+4-4a^2-4a
=4a+4>=0
a>=-1
a为非0整数，则a=-1或者正整数
当a=-1时，y=a(x^2-2x+1)=-(x^2-2x+1)=1，不符合
根据求根公式：
x=[2a+2±√(4a+4)]/(2a)
=[a+1±√(a+1)]/a
x和a为正整数
则a+1是完全平方数，a=3、8、15....
当a=3时，x=(3+1±√4)/3=(4±2)/3
所以：
a=3，x=2时，存在y=3，公共点（2,3）
所以：存在a=1使得A∩B≠空集