Question

四阶行列式.第一行1,1,1,1第二a,b,c,d第三a^2,b^2,c^2,d^2第四行a^4,b^4,c^4,d^4

a45A45那一步不会。。为什么会这样？

Answer 1

令a,b,c,d,x中任意两个相等，行列式D都有两列相等，值为0，所以将行列式展开为a、b、c、d、x的五元多项式后b-a,c-a,x-d等等任意两元相减都是它的因子,这类因子共有十个，又由于展开式次数为4+3+2+1+0=10次，所以没有其他次数大于0的因子。
所以展开后D=α(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)
对比项x^4*d^3*c^2*b*1的系数（该项在行列式中为主对角线，系数为1；展开式中是拆开后10个第一项乘积，系数为α）知α=1.
所以行列式展开D=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)
这是个范德蒙德行列式。

追问

看不懂
有在回答我的问题？
范德蒙德行列式我懂，问题是a45A45后面的等式不知道怎么得到

追答

你范德蒙德行列式懂了就应该知道怎么拆了啊，算我前面白打了。。。第一个等号显然（行列式定义），第二个等号左边是原行列式x^3项，含D4；右边是拆开式的x^3项，然后比较系数可得D4。

追问

还是不懂,刚学范德蒙德，知道D=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)得法，但是你说“第二个等号左边是原行列式x^3项，含D4；右边是拆开式的x^3项”，拆开式的x^3项为什么是有（a+b+c+d）...感觉突然是冒出来的，不知道根据什么得到

追答

(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)拆开x的三次项就是a+b+c+d