Question

已知等边三角形ABC的边长为2a,求其内切圆的内接正方形DEFG的周长和面积

Answer 1

因为正方形面积等于对角线平方的一半，所以只需要求出内接圆直径即可。通过连接圆心到各切点可知，O是等边三角形ABC的三条角平分线的交点（即内心）。那么连结OB。
通过证明可以得到OB=OA且因为∠OBD=30°所以OB=2OD。所以OA=2OD。在Rt△ADB中，通过勾股定理得到AD=√3BD=2√3a（√是根号），所以OD=1/3AD=（2√3a）/3。所以内接圆的直径就是（4√3a）/3（OD是圆的半径）。所以正方形DEFG的面积就是[(4√3a)/3]²/2=8a²/3

追问

谢谢

Answer 2

解：根据题意有：
AD＝a√3；
圆的半径r＝a√3／3；
正方形的边长＝√﹙6a²﹚／9
＝a√6／3；
正方形面积＝a√6／3·a√6／3
＝2a²／3；
正方形周长＝2aπ√3／3；