Question

数学第19题

Answer 1

1. 设AB中点的坐标是(x,y),B(x1,y1)
   

   那么有x1+0=2x,y1+1=2y

      又B在抛物线上,则有y1=x1^2

故AB中点的轨迹方程是2y-1=(2x)^2

即有y=2x^2+1/2

2.设B坐标是(x1,y1),C(x2,y2),直线方程是y=kx+1

代入到抛物线中有kx+1=x^2

x^2-kx-1=0

x1+x2=k

y1+y2=k(x1+x2)+2=k^2+2

故有2x=x1+x2=k

     2y=y1+y2=k^2+2

即有2y=4x^2+2

即有轨迹方程是y=2x^2+1

追问

第二问 为什么x1+x2=k ？

追答

韦达定理啊.对于方程ax^2+bx+c=0
有二个根x1,x2,则有x1+x2=-b/a,x1x2=c/a

追问

那y1+y2呢？

追答

y1=kx1+1,y2=kx2+1
y1+y2=k(x1+x2)+2

追问

在帮我看道题好吗？ 19题

Answer 2

（1）设中点坐标为(u,v),则B点坐标为(2u,2v-1)
B在抛物线y=x²上，所以有2v-1=（2u）² v=2u²-1/2
转换中点轨迹方程为 y=2x²-1/2
（2） 直线若垂直x轴，即直线为x=0,B,C点为一点，不符合题意。
若直线不垂直x轴，可设直线斜率为k,那么直线方程为y=kx+1,带入抛物线y=x²上上，有kx+1=x²
x²-kx-1=0 得xb+xc=k xbxc=-1
yb+yc=k(xb+xc)+2=k²+2
中点坐标为x=k/2 ,y=(k²+2)/2
消去k得 y=[(2x)²+2]/2=2x²+1

Answer 3

。